Modultheorie/Hauptidealbereiche/Satz von Prüfer/Fakt/Beweis

Beweis

Die Aussage von Fakt ist gerade, dass ${}M$ direkte Summe seiner Primärkomponenten ist (weil ein Modul über einem Hauptidealbereich mit nichttrivialem Annullator in jedem Fall ein Torsionsmodul ist).

Es bleibt also nur zu zeigen, dass die Primärkomponenten direkte Summe zyklischer Moduln sind. Nehmen wir also an ${}M=M(p)$ für ein Primelement ${}p\in R$. Als Ideal wird ${}\operatorname {Ann} _{R}M$ von ${}p^{n}$ erzeugt für ein ${}n\in \mathbb {N}$, deshalb ist ${}p^{n}x=0$ für alle ${}x\in M$.

Wir führen Induktion über ${}n$. Für ${}n=0$ ist ${}p^{0}x=x=0$ für alle ${}x\in M$, daher wird ${}M$ von ${}0$ erzeugt.

Im Induktionsschritt müssen wir zeigen, dass aus ${}p^{n+1}M=0$ folgt, dass ${}M$ direkte Summe zyklischer Moduln ist.

Die Induktionsvoraussetzung sagt uns, dass ${}pM$, da es von ${}p^{n}$ annulliert wird, direkte Summe zyklischer Moduln ist:

$pM=\bigoplus _{i\in I}Rpx_{i}.$

Hierbei kann ${}px_{i}\neq 0$ für alle ${}i\in I$ erreicht werden, nehmen wir dies also an.

Es gilt für alle ${}i\in I$ die Aussage ${}\operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=Rp^{n_{i}}$ für ein ${}1\leq n_{i}\leq n$, weil auch ${}Rpx_{i}\subseteq M$ gilt und ${}\operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=R$ zu ${}px_{i}=0$ führen würde. Es folgt ${}\operatorname {Ann} _{R}(Rx_{i})=Rp^{n_{i}+1}$.

Es sei ${}0=\sum r_{i}x_{i}$ mit ${}r_{i}\in R$. Weil ${}pM$ direkte Summe der ${}px_{i}$ ist, folgt daraus mit ${}0=p\sum r_{i}x_{i}=\sum r_{i}(px_{i})$ auch ${}r_{i}(px_{i})=0$, deshalb ist

$r_{i}\in \operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=Rp_{i}^{n}\subseteq Rp$

für alle ${}i\in I$. Aus diesem Grund können wir ${}r_{i}=ps_{i}$ schreiben, mit ${}s_{i}\in R$. Daraus folgt mit ${}0=\sum r_{i}x_{i}=0=\sum s_{i}(px_{i})$ auch ${}s_{i}(px_{i})=r_{i}x_{i}=0$.

Deshalb ist der Untermodul ${}M_{1}:=\sum Rx_{i}$ direkte Summe der zyklischen Moduln ${}Rx_{i}$.

Es sei nun ${}x\in M$ beliebig. Dann ist ${}px=\sum b_{i}px_{i}$. Deshalb gilt für ${}y=\sum b_{i}x_{i}$ zum Einen ${}y\in M_{1}$ und zum Anderen ${}px-py=p(x-y)=0$, und daher ${}x-y\in M^{1}(p)$.

Es gilt daher ${}M=M_{1}+M^{1}(p)$. Der Restklassenmodul ${}M^{1}(p)/M_{1}\cap M^{1}(p)$ ist isomorph zu einem Untermodul ${}M_{2}$ des ${}p$-Sockels ${}M^{1}(p)$, weil ${}M^{1}(p)$ nach Fakt ein Vektorraum über dem Körper ${}R/Rp$ ist. Folglich ist auch ${}M_{2}$ ein Vektorraum über ${}R/Rp$. Als Vektorraum besitzt ${}M_{2}$ eine Basis und damit eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln über ${}R/Rp$. Dies liefert auch zyklische Primärmoduln über ${}R$.

Daher besitzt ${}M=M_{1}\oplus M_{2}$ eine direkte Zerlegung in zyklische Primärmoduln.

Zur bewiesenen Aussage