Prägarben und Garben/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  eine Menge ${}{\mathcal {F}}\left(U\right)$ und zu je zwei offenen Mengen  ${}U\subseteq V$  eine Abbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}\left(V\right)\longrightarrow {\mathcal {F}}\left(U\right)$

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

1. Zu  ${}U=V$  ist

   ${}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}\left(U\right)}\,.$

2. Zu offenen Mengen

   ${}U\subseteq V\subseteq W\,$

   ist stets

   ${}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$

Die Abbildungen ${}\rho _{V,U}$ heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen ${}{\mathcal {F}}\left(U\right)$ nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge ${}U$.

Definition

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  die Menge ${}{\mathcal {F}}\left(U\right)$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion  ${}U\subseteq V$  die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}\left(V\right)\longrightarrow {\mathcal {F}}\left(U\right)$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  die Menge ${}{\mathcal {F}}\left(U\right)$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion  ${}U\subseteq V$  die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}\left(V\right)\longrightarrow {\mathcal {F}}\left(U\right)$

ein Ringhomomorphismus ist.

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem Punkt  ${}P\in X$  nennt man

${}{\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma \left(U,{\mathcal {F}}\right)\,$

den Halm der Prägarbe im Punkt ${}P$.

Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt ${}s\in {\mathcal {F}}(U)$ und jedem Punkt ${}P\in U$ ein eindeutig definiertes Element ${}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$, das der Keim von ${}s$ im Punkt ${}P$ heißt. Etwas allgemeiner ist die folgende Definition.

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem topologischen Filter ${}F$ nennt man

${}{\mathcal {G}}_{F}:=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma \left(U,{\mathcal {G}}\right)\,$

den Halm der Prägarbe im Filter ${}F$.

Definition

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Morphismus von Prägarben

$\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

ist eine Familie von Abbildungen

$\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)$

für jede offene Menge  ${}U\subseteq X$  derart, dass zu jeder offenen Inklusion  ${}U\subseteq V$  das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Zu jeder offenen Überdeckung  ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  und Elementen  ${}s,t\in {\mathcal {F}}\left(U\right)$  mit  ${}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$  für alle  ${}i\in I$  gilt  ${}s=t$. 
2. Zu jeder offenen Überdeckung  ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  und Elementen  ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}\left(U_{i}\right)$  mit  ${}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}\left(s_{i}\right)=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}\left(s_{j}\right)$  für alle  ${}i,j\in I$  gibt es ein  ${}s\in {\mathcal {F}}\left(U\right)$  mit  ${}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$  für alle  ${}i\in I$. 

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man die durch

${\widetilde {\mathcal {F}}}(U):=\left\{\left(s_{P}\right)_{P\in U}\in \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}\mid {\text{ für alle }}P\in U{\text{ gibt es }}P\in V\subseteq U{\text{ und }}t\in {\mathcal {F}}\left(V\right){\text{ mit }}s_{Q}=t_{Q}{\text{ in }}{\mathcal {F}}_{Q}{\text{ für alle }}Q\in V\right\}\,$

und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von ${}{\mathcal {F}}$.

Die in dieser Definition auftretende Bedingung, dass die Schnitte die gleichen Keime in den Halmen definieren, nennt man auch die Kompatibilitätsbedingung.

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ${}X$ und ${}{\widetilde {\mathcal {F}}}$ die Vergarbung zu ${}{\mathcal {F}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es gibt einen natürlichen Prägarben-Morphismus

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}},$

   der durch

   ${\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}(U),\,s\longmapsto \left(s_{P}\right)_{P\in U},$

   gegeben ist.

2. Es ist

   ${}{\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}\cong {\mathcal {F}}_{P}\,$

   für jeden Punkt  ${}P\in X$. 

3. Die Vergarbung ist eine Garbe.
4. Wenn ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe ist, so ist die natürliche Morphismus ${}{\mathcal {F}}\rightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}$ ein Isomorphismus.
5. Zu jedem Prägarben-Morphismus

   $\psi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

   in eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ gibt es eine eindeutige Faktorisierung

   ${\tilde {\psi }}\colon {\widetilde {\mathcal {F}}}\longrightarrow {\mathcal {G}}.$

Beweis

1. Ein Element ${}s\in {\mathcal {F}}(U)$ definiert ein Tupel ${}s_{P},P\in U$, das direkt die Kompatibilitätsbedingung erfüllt. Somit gibt es eine wohldefinierte Abbildung

   $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}\left(U\right)\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}(U).$

   Zu  ${}V\subseteq U$  liegt das kommutative Diagramm

   ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&\prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow &\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&\prod _{P\in V}{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   vor. Die Kommutativität beruht darauf, dass die Keime zu einem Schnitt im Halm eines Punktes nur von den offenen Umgebungen des Punktes abhängen.

2. Wegen (1) und Fakt hat man eine natürliche Abbildung

   ${\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}.$

   Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}s\in {\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}$ gegeben, und ${}s$ sei repräsentiert durch ${}s'\in {\widetilde {\mathcal {F}}}(U)$. Dies wird in einer offenen Umgebung  ${}V\subseteq U$  von ${}P$ durch ein Element

   ${}s^{\prime \prime }\in {\mathcal {F}}\left(V\right)\,$

   repräsentiert. Dann ist der Keim ${}s_{P}^{\prime \prime }\in {\mathcal {F}}_{P}$ direkt ein Urbild von ${}s$.

   Zum Nachweis der Injektivität seien ${}s,t\in {\mathcal {F}}_{P}$ mit  ${}\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$  gegeben. Wir können annehmen, dass ${}s$ und ${}t$ als Schnitte von ${}{\mathcal {F}}$ auf der gleichen offenen Menge ${}U$ gegeben sind. Die Gleichheit im Halm der Vergarbung besagt, dass es eine offene Menge ${}P\in V$ mit

   ${}(s_{Q})_{Q\in V}=(t_{Q})_{Q\in V}\,$

   gibt. Dann ist insbesondere  ${}s_{P}=t_{P}$. 

3. Es sei

   ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

   eine offene Überdeckung und seien ${}s,t\in \Gamma (U,{\widetilde {\mathcal {F}}})$ Schnitte mit  ${}s{|}_{U_{i}}=t{|}_{U_{i}}$  für alle ${}i$. Dann gilt insbesondere

   ${}s_{P}=t_{P}\,$

   für jeden Punkt ${}P\in U$, da ja jeder Punkt ${}P\in U$ in einem der ${}U_{i}$ enthalten ist. Somit gilt insbesondere Gleichheit im Produkt der Halme und dies bedeutet die Gleichheit in der Vergarbung.

   Es seien nun Schnitte

   ${}s_{i}\in {\widetilde {\mathcal {F}}}(U_{i})\,$

   mit  ${}{s_{i}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}={s_{j}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$  gegeben. Dies bedeutet zunächst, dass es zu jedem Punkt  ${}P\in U$  einen eindeutigen Keim ${}s_{P}$ gibt, der durch eines der ${}s_{i}$ festgelegt ist. Das Tupel ${}s_{P},\,P\in U$, erfüllt dann aber direkt die Kompatibilitätsbedingung.

4. Nach (1) hat man einen Prägarben-Morphismus

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}$

   der nach (2) halmweise bijektiv ist. Nach Voraussetzung liegt links und nach (3) liegt rechts eine Garbe vor. Also ist nach Fakt die Abbildung ein Isomorphismus.

5. Siehe Aufgabe.

$\Box$