Prägarben und Garben/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe auf versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge eine Menge und zu je zwei offenen Mengen eine Abbildung

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

  1. Zu ist
  2. Zu offenen Mengen

    ist stets

Die Abbildungen heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge .


Definition  

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge eine Gruppe und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Definition  

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung

ein Ringhomomorphismus ist.


Definition  

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem Punkt nennt man

den Halm der Prägarbe im Punkt .

Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt und jedem Punkt ein eindeutig definiertes Element , das der Keim von im Punkt heißt. Etwas allgemeiner ist die folgende Definition.


Definition  

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem topologischen Filter nennt man

den Halm der Prägarbe im Filter .


Definition  

Es seien und Prägarben auf einem topologischen Raum . Ein Homomorphismus von Prägarben

ist eine Familie von Abbildungen

für jede offene Menge derart, dass zu jeder offenen Inklusion das Diagramm

kommutiert.


Definition  

Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Garbe auf versteht man eine Prägarbe auf , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gilt .
  2. Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gibt es ein mit für alle .


Definition  

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum nennt man die durch

und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von .

Die in dieser Definition auftretende Bedingung, dass die Schnitte die gleichen Keime in den Halmen definieren, nennt man auch die Kompatibilitätsbedingung.



Lemma  

Es sei eine Prägarbe auf einem topologischen Raum und die Vergarbung zu . Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Es gibt einen natürlichen Prägarben-Morphismus

    der durch

    gegeben ist.

  2. Es ist

    für jeden Punkt .

  3. Die Vergarbung ist eine Garbe.
  4. Wenn eine Garbe ist, so ist die natürliche Morphismus ein Isomorphismus.
  5. Zu jedem Prägarben-Morphismus

    in eine Garbe gibt es eine eindeutige Faktorisierung

Beweis  

  1. Ein Element definiert ein Tupel , das direkt die Kompatibilitätsbedingung erfüllt. Somit gibt es eine wohldefinierte Abbildung

    Zu liegt das kommutative Diagramm

    vor. Die Kommutativität beruht darauf, dass die Keime zu einem Schnitt im Halm eines Punktes nur von den offenen Umgebungen des Punktes abhängen.

  2. Wegen (1) und Fakt hat man eine natürliche Abbildung

    Zum Nachweis der Surjektivität sei gegeben, und sei repräsentiert durch . Dies wird in einer offenen Umgebung von durch ein Element

    repräsentiert. Dann ist der Keim direkt ein Urbild von .

    Zum Nachweis der Injektivität seien mit gegeben. Wir können annehmen, dass und als Schnitte von auf der gleichen offenen Menge gegeben sind. Die Gleichheit im Halm der Vergarbung besagt, dass es eine offene Menge mit

    gibt. Dann ist insbesondere .

  3. Es sei

    eine offene Überdeckung und seien Schnitte mit für alle . Dann gilt insbesondere

    für jeden Punkt , da ja jeder Punkt in einem der enthalten ist. Somit gilt insbesondere Gleichheit im Produkt der Halme und dies bedeutet die Gleichheit in der Vergarbung.

    Seien nun Schnitte

    mit gegeben. Dies bedeutet zunächst, dass es zu jedem Punkt einen eindeutigen Keim gibt, der durch eines der festgelegt ist. Das Tupel , erfüllt dann aber direkt die Kompatibilitätsbedingung.

  4. Nach (1) hat man einen Prägarben-Morphismus

    der nach (2) halmweise bijektiv ist. Nach Voraussetzung liegt links und nach (3) liegt rechts eine Garbe vor. Also ist nach Fakt die Abbildung ein Isomorphismus.

  5. Siehe Aufgabe.