Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Kohomologie/Textabschnitt

Lemma

Auf einer riemannschen Fläche

liegt die lange exakte Sequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0$

vor.

Wenn ${}X$ kompakt ist, so ist

$0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0$

exakt.

Beweis

Die holomorphe Exponentialsequenz (siehe Beispiel)

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

ergibt die angegebene lange exakte Kohomologiesequenz, wobei man die Sequenz wegen

${}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0\,$

abbrechen kann. Es sei nun ${}X$ kompakt, wir können zusätzlich zusammenhängend annehmen. Dann sind die Anfangsterme der Sequenz nach Fakt gleich

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }.$

Nach Aufgabe ist die hintere Abbildung surjektiv, man kann also die weitere Sequenz „neu“ bei ${}0$ beginnen lassen.

$\Box$

Man kann ferner zeigen, dass im kompakten Fall ${}H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ ist (für die projektive Gerade siehe Aufgabe). Die letzte Abbildung ist dabei die Gradabbildung im Sinne von Definition.

Beispiel

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}U_{1}\subseteq X$ eine offene Kreisscheibe mit zwei Punkten ${}P,Q\in U_{1}$. Es sei ${}\gamma$ die (auf der Karte) lineare Verbindung von ${}Q$ nach ${}P$. Wir setzen

${}U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,,$

insbesondere bilden die beiden offenen Mengen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ eine offene Überdeckung von ${}X$. Dabei ist

${}U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,$

homöomorph zu einer mit einem abgeschlossenen Intervall geschlitzten Kreisscheibe. Eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}U_{1}\cap U_{2}$ definiert als Čech-Kozykel eine erste Kohomologieklasse von ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und eine nullstellenfreie holomorphe Funktion darauf definiert eine erste Kohomologieklasse von ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$. Unter der langen exakten Sequenz zur Exponentialsequenz (siehe Fakt) wird ${}h$ auf ${}e^{h}$ abgebildet. Dabei wird die in Beispiel eingeführte Funktion ${}\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)$, aufgefasst auf ${}U_{1}\cap U_{2}$, auf

${}e^{\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)}={\frac {z-P}{z-Q}}\,$

abgebildet, was eine Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ definiert. Wir verwenden Fakt und betrachten den Divisor ${}P-Q$. Dieser ist auf ${}U_{1}$ der Hauptdivisor zu ${}{\frac {z-P}{z-Q}}$ und auf ${}U_{2}$ der Hauptdivisor zu ${}1$. Somit wird dieser Divisor unter dem verbindenden Homomorphismus auf diese Kohomologieklasse abgebildet.