Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es seien und riemannsche Flächen und sei

eine stetige Abbildung. Man nennt holomorph, wenn für jede offene Teilmenge und jede holomorphe Funktion die zusammengesetzte Funktion holomorph ist.

Gemäß der Definition muss man also für jede offene Menge und jede holomorphe Funktion die Hintereinanderschaltung

betrachten und als holomorph auf nachweisen.



Lemma  

Es seien und riemannsche Flächen und sei

eine stetige Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. ist holomorph.
  2. Für jedes Kartengebiet und für jede holomorphe Funktion ist holomorph.
  3. Es gibt eine offene Überdeckung mit Kartengebieten derart, dass für jede holomorphe Funktion auch holomorph ist.
  4. Für beliebige Kartengebiete und

    mit Kartenabbildungen und ist

    holomorph.

  5. Es gibt eine offene Überdeckung mit Kartengebieten und offene Überdeckungen mit Kartengebieten von derart, dass die Hintereinanderschaltungen

    holomorph sind.

Beweis  

Von (1) nach (2) und von (2) nach (3) sind Einschränkungen. Es sei (3) erfüllt. Es sei eine offene Teilmenge und eine holomorphe Funktion. Die Durchschnitte , , bilden dann eine offene Überdeckung von . Nach (3) sind dann die

holomorph. Da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, ist selbst holomorph.

Von (2) nach (4) und von (4) nach (5) ist klar. Es sei also (5) erfüllt, wir werden (3) zeigen. Ohne Einschränkung können wir ,

offen und

mit Kartengebieten annehmen. Es sei eine holomorphe Funktion auf . Es ist die Holomorphie von

für jedes nachzuweisen. Somit ist zu zeigen, dass

holomorph ist. Nach Voraussetzung (5) ist holomorph und somit ist auch diese Hintereinanderschaltung mit holomorph.


Die Situation in Fakt  (4) kann man sich durch das kommutative Diagramm

veranschaulichen, wobei sich die untere Zeile allein in abspielt.



Lemma  

Es sei eine riemannsche Fläche.

Dann ist eine holomorphe Funktion auf und eine holomorphe Abbildung von nach dasselbe.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt und Fakt.



Lemma

  1. Die Identität auf einer riemannschen Fläche ist eine holomorphe Abbildung.
  2. Zu einer offenen Menge einer riemannschen Fläche ist die Inklusion

    eine holomorphe Abbildung.

  3. Es seien und holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen . Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

    holomorph.

Beweis

Siehe Aufgabe.


Eine direkte Verallgemeinerung von Fakt ist die folgende Aussage.


Lemma

Es seien und riemannsche Flächen und sei eine offene Überdeckung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Holomorphe Abbildungen

    stimmen genau dann überein, wenn die Einschränkungen und für alle übereinstimmen.

  2. Es seien holomorphe Abbildungen gegeben, die für alle erfüllen. Dann gibt es eine holomorphe Abbildung mit

    für alle .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Satz  

Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen.

Dann ist offen.

Beweis  

Dies folgt aus dem Offenheitssatz für holomorphe Funktionen.