Schema/Morphismus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Schemamorphismus

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen Schemata ${}X$ und ${}Y$ ist ein Morphismus der lokal beringten Räume.

Satz

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum und ${}Y=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein affines Schema.

Dann gibt es zu jedem Ringhomomorphismus ${}\theta \colon R\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow Y$, der ${}\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt.

Beweis

Wegen Fakt muss

${}\varphi (x)={\left\{f\in R\mid x\notin X_{\theta (f)}\right\}}=(\rho _{x}\circ \theta )^{-1}{\left({\mathfrak {m}}_{x}\right)}\,$

für jeden Punkt ${}x\in X$ sein, wobei ${}\rho _{x}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$ den Restriktionshomomorphismus in den Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${}{\mathfrak {m}}_{x}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,x}$ das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja

${}\varphi ^{-1}(D(f))=X_{\theta (f)}\,$

erfüllt, die ${}D(f)$ nach Fakt  (8) eine Basis bilden und da die ${}X_{\theta (f)}$ nach Fakt offen sind. Zu jedem ${}f\in R$ liegen die Ringhomomorphismen

$R{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (X_{\theta (f)},{\mathcal {O}}_{X})$

vor, wobei ${}\theta (f)$ rechts zu einer Einheit wird. Nach Fakt gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$R_{f}\longrightarrow \Gamma (X_{\theta (f)},{\mathcal {O}}_{X}),$

der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus

$\Gamma (D({\mathfrak {a}}),{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(D({\mathfrak {a}})),{\mathcal {O}}_{X})$

für jede offene Menge ${}D({\mathfrak {a}})$ festgelegt. Es gilt nämlich mit ${}D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ die Beziehung

${}\Gamma (D({\mathfrak {a}}),{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{(s_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}R_{f_{i}}\mid s_{i}=s_{j}{\text{ in }}R_{f_{i}f_{j}}\right\}}\,$

und

${}\Gamma (\varphi ^{-1}(D({\mathfrak {a}})),{\mathcal {O}}_{X})={\left\{(t_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}\Gamma (X_{\theta (f_{i})},{\mathcal {O}}_{X})\mid t_{i}=t_{j}{\text{ in }}\Gamma (X_{\theta (f_{i}f_{j})},{\mathcal {O}}_{X})\right\}}\,.$

Da wir rechts auf den ${}R_{f_{i}}$ bzw. ${}R_{f_{i}f_{j}}$ wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}\theta \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Schemamorphismus ${}\operatorname {Spek} {\left(S\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, der ${}\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt. Topologisch handelt es sich um die Spektrumsabbildung.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt. Die Überlegung zu Beginn des Beweises von diesem Satz zeigt, dass es sich um die Spektrumsabbildung handelt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.

Dann gibt es einen kanonischen Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$.

Dabei wird ein Punkt ${}x\in X$ auf die Charakteristik seines Restekörpers ${}\kappa (x)$ abgebildet.

Beweis

Der kanonische Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$

legt nach Fakt einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume

$X\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$

fest.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.

Dann definiert jede globale Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}$, wobei die Variable (der affinen Geraden) auf ${}f$ abgebildet wird.

Wenn ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine ${}K$-Algebra über einem Körper ${}K$ ist, so definiert ${}f$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Dabei wird ein Punkt ${}x\in X$ auf den Kern des Ringhomomorphismus

$K[T]\longrightarrow \kappa (x),\,T\longmapsto f(x),$

abgebildet.

Beweis

Das Ringelement ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ definiert einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} [T]\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$, nämlich den Einsetzungshomomorphismus. Nach Fakt gibt es dazu einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume

${\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [T]\right)}={\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}.$

Der Zusatz ergibt sich entsprechend.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum.

Dann definiert jedes Funktionstupel ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{n}}$, wobei die Variable ${}T_{i}$ (des affinen Raumes) auf ${}f_{i}$ abgebildet wird.

Wenn ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine ${}R$-Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$ ist, so definieren die ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow {{\mathbb {A} }_{R}^{n}}$. Dabei wird ein Punkt ${}x\in X$ auf den Kern des Ringhomomorphismus

$R[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \kappa (x),\,T_{i}\longmapsto f_{i}(x),$

abgebildet.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Ein Morphismus in einen affinen Raum ist also nichts anderes als ein Tupel von globalen Funktionen.

Wenn

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

ein Morphismus ist, so ist für jede offene Teilmenge ${}V\subseteq Y$ auch die induzierte Abbildung

$\varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$

ein Morphismus. Wenn ${}V$ zusätzlich affin ist, so wird ein solcher Morphismus lokal (bezogen auf ${}Y$) wegen Fakt durch einen Ringhomomorphismus gegeben. Dies bedeutet, dass ein Schemamorphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit Hilfe einer affinen Überdeckung

${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}=\bigcup _{i\in I}\operatorname {Spek} {\left(R_{i}\right)}\,$

im Wesentlichen durch die Ringhomomorphismen

$R_{i}\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V_{i}),{\mathcal {O}}_{X})$

bestimmt ist.