Zahlbereich/Verzweigung/Faserring/Diskriminante/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein vollkommener Körper und ${}A$ eine endlichdimensionale ${}K$-Algebra. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}A$ ist reduziert.
2. ${}A$ ist ein Produkt von Körpern.
3. Die Spurform ist nichtausgeartet.
4. Die Diskriminante zu einer ${}K$-Basis von ${}A$ ist ungleich ${}0$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar aufgrund von Aufgabe. Es sei (2) erfüllt, ${}A=L_{1}\times \cdots \times L_{r}$. Wegen der Voraussetzung vollkommen sind die Körpererweiterungen ${}K\subseteq L_{j}$ separabel. Die Spur ${}A\rightarrow K$ setzt sich zusammen aus der Summe der Spuren zu den Körpererweiterungen, da man von diesen jeweils Basen wählen kann und sich diese zu einer Gesamtbasis von ${}A$ zusammensetzen. Bezüglich einer solchen Basis sind die Multiplikationsmatrizen Diagonalblockmatrizen. Bei ${}x\in A$ von ${}0$ verschieden ist auch eine Komponente ${}x_{j}$ in einem Körper ${}L_{j}$ von ${}0$ verschieden. Im Körperfall ist die Spurform nichtausgeartet und daher gibt es ${}y_{j}\in L_{j}$ (das wir in ${}A$ auffassen können) mit ${}S(x,y_{j})=S(x_{j}y_{j})\neq 0$. (3) und (4) sind äquivalent. Wenn die Spurform nicht ausgeartet ist, so besitzt die Gramsche Matrix davon eine von ${}0$ verschiedene Determinante, und umgekehrt, siehe Aufgabe bzw. Fakt.

Es sei nun ${}A$ nicht reduziert. Zu einem nilpotenten Element ${}f$ ist das Minimalpolynom gleich ${}X^{m}$ und damit ist auch das charakteristische Polynom gleich ${}X^{n}$, wobei ${}n$ den Grad der Erweiterung bezeichnet (für einen Körper ${}A$ wurde dies in Fakt gezeigt, es gilt aber auch sonst). Deshalb ist die Spur von ${}f$ nach Aufgabe gleich ${}0$. Zu einem nilpotenten Element ${}f$ und einem beliebigen Element ${}x$ ist auch ${}fx$ nilpotent und daher ist, wenn es ein nichttriviales nilpotentes Element gibt, die Spurform ausgeartet.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich, ${}f\in R$ und ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Spur von ${}f$ modulo ${}p$ gleich der im Faserring ${}R/(p)$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ berechneten Spur von ${}{\overline {f}}\in R/(p)$.

Beweis

Nach Fakt ist ${}R$ ein freier ${}\mathbb {Z}$-Modul, dessen Rang der Grad ${}n$ der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach Fakt ist der Faserring über ${}\mathbb {Z} /(p)$ eine ${}n$-dimensionale ${}\mathbb {Z} /(p)$-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ von ${}R$ fixiert. Eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$ wird modulo ${}p$ zu einer ${}\mathbb {Z} /(p)$-Basis von ${}R/(p)$, siehe den Beweis zu Fakt. In der Multiplikationsmatrix zu ${}f$ bezüglich ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ stehen die ganzen Zahlen ${}c_{ij}$, die durch

${}fb_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}b_{j}\,$

gegeben sind. Da ${}R\rightarrow R/(p)$ ein Ringhomomorphismus ist, folgt

${}{\overline {f}}{\overline {b}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\overline {c}}_{ij}{\overline {b}}_{j}\,$

und daher ist die Multiplikationsmatrix zu ${}{\overline {f}}$ bezüglich ${}{\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}$ einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}\,$

gleich ${}\sum _{i=1}^{n}{\overline {c}}_{ii}$, also gleich der Spur der Reduktion.

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Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle _{R}$. Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist ${}p$ genau dann ein Teiler von ${}\triangle _{R}$, wenn der Faserring zu ${}R$ über ${}p$ nicht reduziert ist.

Beweis

Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von ${}R$. Die Matrix ${}M$ mit den Einträgen ${}\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}$ ist die Gramsche Matrix der Spurform. Die Gramsche Matrix ${}M'$ der Spurform zu ${}R/(p)$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ bezüglich der ${}\mathbb {Z} /(p)$-Basis ${}{\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}$ entsteht daraus nach Fakt durch komponentenweise Reduktion. Da das Berechnen der Determinante mit beliebigen Ringwechseln verträglich ist, ist die Determinante von ${}M'$ gleich der Determinante von ${}M$ (also der Diskriminante von ${}R$) modulo ${}p$ genommen. Somit ist ${}p$ genau dann ein Teiler der Diskriminante von ${}R$, wenn die Diskriminante des Faserringes gleich ${}0$ ist. Dies ist nach Fakt äquivalent dazu, dass der Faserring nicht reduziert ist.

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