Zifferndarstellung/Konvergenz/Cauchy-Folge/Rekursion/Periodizität/Textabschnitt
Wir zeigen nun, wie eine Zifferenentwicklung eine Cauchy-Folge (in ) ist und wie sie über die Vollständigkeit in der Tat eine reelle Zahl darstellt.
Es sei eine Zifferndarstellung (oder Dezimalentwicklung) gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit von besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz (für )
wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als sind. Nach Aufgabe gilt für die Summe rechts die Gleichheit
Bei gegebenem haben wir also für jedes die Abschätzung
Zu einem beliebig vorgegeben finden wir zuerst ein mit
und für gilt dann
Wir besprechen nun, wie man zu einer irgendwie gegebenen reellen Zahl die Dezimalbruchentwicklung findet und zeigen, dass sie eindeutig bestimmt ist. Die Zahl kann als ein Bruch , durch eine algebraische Eigenschaft, wie bei , als das Inverse einer irgendwie gegebenen Zahl , als Ergebnis einer Verknüpfung
oder
von irgendwie gegebenen Zahlen
und ,
oder als Grenzwert einer Folge gegeben sein. In irgendeiner Weise muss die Zahl natürlich vorliegen. Der im folgenden Satz beschriebene Algorithmus zur Bestimmung der Ziffern benötigt lediglich, dass man die auftretenden Zahlen mit multiplizieren, Differenzen berechnen und mit ganzen Zahlen vergleichen kann. Für den letzten Punkt ist die folgende Überlegung hilfreich.
Für die reellen Zahlen bilden die ganzzahligen halboffenen Intervalle , , aufgrund des Archimedes-Axioms eine disjunkte Überdeckung. Jede reelle Zahl liegt also in genau einem dieser Intervalle. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.
Es ist also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.
Zu einer reellen Zahl
erhält man eine Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) mit den Ziffern durch die rekursive Bestimmung
die darstellt.
Zu jeder reellen Zahl in einem halboffenen Intervall gibt es ein eindeutiges , , mit
da diese Intervalle eine disjunkte Zerlegung von bilden. Bei kann man das als finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. mit ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge , in dem liegt. Die Zahl gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass eine natürliche Zahl zwischen und ist, dass ist und dass
für jedes ist. Daher ist eine Ziffernentwicklung und es liegt eine Intervallschachtelung für vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Fakt gehörige Zahl muss nach Aufgabe gleich sein.
Die im vorstehenden Satz formulierte Ziffernentwicklung nennt man auch die kanonische Ziffernentwicklung; sie ist in eindeutiger Weise einer reellen Zahl zugeordnet. Die Ziffernentwicklung
ist zwar eine erlaubte Ziffernentwicklung, aber keine kanonische Ziffernentwicklung. Die zugehörige reelle Zahl ist die , und deren kanonische Ziffernentwicklung ist
Das Rekursionsschema aus Fakt zur Berechnung der Ziffernentwicklung ist eine Verallgemeinerung des Divisionsalgorithmus für , mit dem man die Ziffernentwicklung einer rationalen Zahl bestimmt. Wir beschränken uns auf , die Ziffernentwicklung beginnt also mit . Zur Bestimmung der ersten Nachkommaziffer schaut man, wie oft in hineingeht, also welches ganzzahlige Vielfache von noch unterhalb von liegt. Der zugehörige Faktor (und dieser ist ) ist zwischen und und ergibt die erste Nachkommaziffer von . Dann subtrahiert man von das soeben bestimmte maximal ganzzahlige Vielfache und erhält als Differenz eine ganze Zahl zwischen und . Diese multipliziert man wieder mit und führt die gleiche Überlegung durchzusatz1
Für eine rationale Zahl () besitzt das Schema aus Fakt die Eigenschaft, dass selbst ein Bruch mit als Nenner ist und wobei der Rest bei Division von durch b ist. Durch Induktion nach zeigt man nämlich die Beziehung
und
siehe Aufgabe.
Eine reelle Zahl ist
genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
Es sei eine rationale Zahl, von der wir annehmen können, dass sie in liegt. Es sei
die nach Fakt zugehörige Zifferenentwicklung gemäß dem Rekursionsschema und . Es ist einerseits und andererseits sind die rationale Zahlen mit als Nenner. D.h. muss eine der Zahlen
sein. Unter den muss es also irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir
mit
.
Da die Zahlen und nur von abhängen, ist
,
,
u.s.w, d.h., es liegt eine Periodizität vor.
Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
auffassen, wobei die Einsen an der -ten, -ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten die Folge
deren Glieder approximierende abbrechende Ziffernentwicklungen von sind (wobei manche übersprungen werden). Aufgrund von Aufgabe ist
Der Limes davon (für gegen unendlich) ist, da ja gegen konvergiert, gleich
wobei jeweils Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise
