Algebraische ebene Kurve/Körper/Glatte und singuläre Punkte/Partielle Ableitungen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper und  $F\in K[X,Y]$  ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei  $P\in C=V(F)\subset {𝔸}_K^2$  ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $C$, wenn

$\frac{\partial F}{\partial X}(P)\ne 0\text{ oder }\frac{\partial F}{\partial Y}(P)\ne 0$

gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und  $F\in K[X,Y]$  ein von $0$ verschiedenes Polynom. Man nennt  $C=V(F)\subset {𝔸}_K^2$  eine glatte Kurve, wenn sie in jedem $L$-Punkt  $P\in C_L\subseteq {𝔸}_L^2$  glatt ist.

Bei einer glatten Kurve fordert man also, dass nicht nur die $K$-Punkte, sondern auch die $L$-Punkte zu einer beliebigen Körpererweiterung  $K\subseteq L$  glatt sind. Es genügt, dies für die Punkte des algebraischen Abschlusses $\bar{K}$ zu fordern. Da eine über $K$ definierte Kurve überhaupt keinen $K$-Punkt besitzen muss, ist eine solche Formulierung nötig, um einen sinnvollen Begriff zu erhalten.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und  $F\in K[X,Y]$  ein von $0$ verschiedenes Polynom mit der zugehörigen Kurve  $C=V(F)$.  Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. $C$ ist eine glatte Kurve.
2. Jeder Punkt  $P\in C_{\bar{K}}\subseteq {𝔸}_{\bar{K}}^2$  ist glatt, wobei $\bar{K}$ einen algebraischen Abschluss von $K$ bezeichnet.
3. Die Polynome $F,\frac{\partial F}{\partial X},\frac{\partial F}{\partial Y}$ erzeugen in $\bar{K}[X,Y]$ das Einheitsideal.
4. Die Polynome $F,\frac{\partial F}{\partial X},\frac{\partial F}{\partial Y}$ erzeugen in $K[X,Y]$ das Einheitsideal.

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar, da die Glattheit ja eine Anforderung an jede Körpererweiterung ist. Es sei (2) erfüllt. Angenommen, das Ideal $(F,\frac{\partial F}{\partial X},\frac{\partial F}{\partial Y})$ sei nicht das Einheitsideal. Dann gibt es nach Fakt ein maximales Ideal $𝔪$ in $\bar{K}[X,Y]$ mit

$(F,\frac{\partial F}{\partial X},\frac{\partial F}{\partial Y})\subseteq 𝔪.$

Da $\bar{K}$ algebraisch abgeschlossen ist, ist nach Fakt das Ideal $𝔪$ ein Punktideal, also von der Form  $𝔪=(X-a,Y-b)$  mit  $a,b\in \bar{K}$.  Die Inklusionsbedingung

$(F,\frac{\partial F}{\partial X},\frac{\partial F}{\partial Y})\subseteq (X-a,Y-b)$

bedeutet

$F(a,b)=\frac{\partial F}{\partial X}(a,b)=\frac{\partial F}{\partial Y}(a,b)=0$

und somit ist  $P=(a,b)$  ein nichtglatter Punkt von $C_{\bar{K}}$, im Widerspruch zu (2). Von (3) nach (4) gilt für jedes Ideal (siehe Aufgabe). Von (4) nach (1). Sei  $K\subseteq L$  eine beliebige Körpererweiterung. Dann ist erst recht das Ideal $(F,\frac{\partial F}{\partial X},\frac{\partial F}{\partial Y})$ in $L[X,Y]$ das Einheitsideal. Für einen Punkt

$P=(a,b)\in {𝔸}_L^2$

können dann nicht $F$ und die partiellen Ableitungen simultan verschwinden, es liegt also ein glatter Punkt vor.

$◻$

Bemerkung  

Für einen glatten Punkt  $P=(a,b)\in C=V(F)$  einer ebenen algebraischen Kurve nennt man die durch die Gleichung

$\frac{\partial F}{\partial X}(P)(X-a)+\frac{\partial F}{\partial Y}(P)(Y-b)=0$

gegebene Gerade die Tangente im Punkt $P$ an die Kurve. Bei  $P=(0,0)\in C$  kann man die Glattheit und die Tangente einfach ablesen. Man zerlegt $F$ in die homogenen Komponenten

$F=F_0+F_1+F_2+\cdots +F_d.$

Dabei ist der konstante Term  $F_0=0$,  da der Nullpunkt ein Punkt der Kurve ist, und der lineare Term ist  $F_1=uX+vY$.  Hierbei ist

$\frac{\partial F}{\partial X}(P)=u\text{ und }\frac{\partial F}{\partial Y}(P)=v$

(da die höheren homogenen Komponenten von $F$ keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten), es liegt genau dann ein glatter Punkt vor, wenn  $F_1\ne 0$  und die Bedingung  $uX+vY=0$  beschreibt die Tangente.

Bei einer algebraischen Kurve sind die Schnittpunkte von irreduziblen Komponenten niemals glatt.

Die folgende Aussage zeigt, dass ein Kreuzungspunkt zweier irreduzibler Komponenten niemals glatt sein kann.

Lemma

Es sei  $C=V(F)$  eine ebene algebraische Kurve und  $F=F_1\cdots F_n$  die Zerlegung in verschiedene Primfaktoren. Es sei  $P\in C$  ein glatter Punkt der Kurve.

Dann liegt $P$ auf nur einer Komponente  $C_i=V(F_i)$  der Kurve.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$