Bilinearform/Symmetrisch/Typkriterien/Einführung/Textabschnitt

Es gibt mehrere Methoden, den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen, wobei der Sylvestersche Trägheitssatz eine erste Möglichkeit ist, die aber den Nachteil hat, dass man eine Orthogonalbasis bestimmen muss. Wir besprechen das Minorenkriterium und das Eigenwertkriterium. Unter einem Minor versteht man die Determinante einer quadratischen Untermatrix einer Matrix. Man könnte also bei dem folgenden Kriterium genauso gut von einem Determinantenkriterium sprechen.

Satz

Es sei $⟨ -, - ⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ . Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $⟨ -, - ⟩$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

M_{k} = (⟨ v_{i}, v_{j} ⟩)_{1 \leq i, j \leq k}

seien für $k = 1, \dots, n$ von $0$ verschieden. Es sei $a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

D_{0} = 1, D_{1} = det M_{1}, D_{2} = det M_{2}, \dots, D_{n} = det M_{n} = det G .

Dann ist $⟨ -, - ⟩$ vom Typ $(n - a, a)$ .

Beweis

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht $0$ ist, ist nach Aufgabe die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form $(n - q, q)$ . Wir müssen zeigen, dass $q = a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$ , wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension $n - 1$ bewiesen und es liege ein $n$ -dimensionaler Raum mit einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

U = ⟨ v_{1}, \dots, v_{n - 1} ⟩

hat die Dimension $n - 1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form $⟨ -, - ⟩ |_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

D_{n} = det M_{n} = det G

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt $⟨ -, - ⟩ |_{U}$ den Typ $(n - 1 - b, b)$ , wobei $b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

D_{0} = 1, D_{1}, \dots, D_{n - 1}

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

b \leq q \leq b + 1,

da ein $q$ -dimensionaler Untervektorraum $W \subseteq V$ , auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

W^{'} = U \cap W \subseteq U

führt, der die Dimension $q$ oder $q - 1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ist das Vorzeichen von $D_{n - 1}$ gleich $(- 1)^{b}$ und das Vorzeichen von $D_{n}$ gleich $(- 1)^{q}$ . Das bedeutet, dass zwischen $D_{n - 1}$ und $D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit $a = b + 1$ ) genau dann vorliegt, wenn

q = b + 1

ist.

◻

Korollar

Es sei $⟨ -, - ⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ . Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $⟨ -, - ⟩$ bezüglich dieser Basis und es seien $D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

M_{k} = {(⟨ v_{i}, v_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq k}, k = 1, \dots, n .

Dann gelten folgende Aussagen.

Genau dann ist $⟨ -, - ⟩$ positiv definit, wenn alle $D_{k}$ positiv sind.

Genau dann ist $⟨ -, - ⟩$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge $D_{0} = 1, D_{1}, D_{2}, \dots, D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

Beweis

(1). Wenn die Bilinearform positiv definit ist, so ist nach Aufgabe das Vorzeichen der Determinante der Gramschen Matrix gleich $(- 1)^{0} = 1$ , also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume $U_{i} = ⟨ v_{1}, \dots, v_{i} ⟩$ ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.
Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus Fakt, dass die Bilinearform positiv definit ist.

(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also $- ⟨ -, - ⟩$ , betrachtet.

◻

Satz

Es sei $⟨ -, - ⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ . Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $⟨ -, - ⟩$ bezüglich dieser Basis.

Dann besitzt der Typ $(p, q)$ der Form folgende Interpretation: $p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu positiven Eigenwerten und $q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu negativen Eigenwerten.

Beweis

Dies werden wir später als Korollar aus Fakt erhalten.

◻

Bemerkung

Zu einer Funktion

f : ℝ^{n} ⟶ ℝ

interessiert man sich, wie schon im Fall $n = 1$ , für die lokalen Extrema der Funktion, zum Beispiel Maxima, also Punkte $P \in ℝ^{n}$ mit der Eigenschaft, dass in einer kleinen Umgebung davon alle Funktionswerte kleinergleich $f (P)$ sind. Bei $n = 2$ handelt es sich um Gipfel des durch $f$ beschriebenen Gebirges über der Grundebene. Wenn die Funktion zweimal stetig differenzierbar ist, so gibt es wie im eindimensionalen notwendige und hinreichende differentielle Kriterien für die Existenz von lokalen Maxima und Minima. Das notwendige Kriterium ist, dass $P$ ein kritischer Punkt ist, was bedeutet, dass die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (P)$ für $i = 1, \dots, n$ gleich $0$ sind. In diesem Fall betrachtet man die zweiten partiellen Ableitungen und fasst sie in der sogenannten Hesse-Matrix

{(\frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (P))}_{i j}

zusammen. Die zugehörige symmetrische Bilinearform entscheidet häufig darüber, ob ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum vorliegt. Wenn sie positiv definit ist, so liegt ein isoliertes lokales Minimum vor, wenn sie negativ definit ist, so liegt ein isoliertes lokales Maximum vor, wenn sie indefinit ist, so liegt kein lokales Extremum vor (siehe Fakt). In den verbleibenden Fällen, also beispielsweise bei der Nullmatrix, braucht man weitere Überlegungen.