Endliche Körper/Erweiterungen/Galoisgruppen/Textabschnitt

Zu jeder Primzahl ${}p$ und jedem Exponenten ${}m$ gibt es nach Fakt einen eindeutig bestimmten endlichen Körper mit ${}p^{m}$ Elementen.

Lemma

Es sei ${}L$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p$.

Dann ist der Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x^{p},$

ein Automorphismus, dessen Fixkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist.

Beweis

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Fakt. Wegen ${}\Phi (1)=1$ werden die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es ${}p$ Elemente in ${}K$ mit ${}x^{p}=x$. Mehr kann es wegen Fakt nicht geben.

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Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}m\in \mathbb {N}$, ${}q=p^{m}$.

Dann ist die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

Beweis

Es sei

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein ${}{\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen ${}\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt

${}\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$

Bei ${}k=m$ ist nach Fakt ${}x^{p^{m}}=x$ für alle ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$, also ist ${}\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$. Für ${}k<m$ kann ${}\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es ${}m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.

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Korollar

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Es seien ${}K$ und ${}L$ endliche Körper mit ${}p^{m}$ bzw. ${}p^{n}$ Elementen.

Dann ist ${}K$ genau dann ein Unterkörper von ${}L$, wenn ${}m$ ein Teiler von ${}n$ ist.

In diesem Fall ist ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad ${}n/m$ mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}n/m$, die von der ${}m$-ten Iteration des Frobenius erzeugt wird.

Beweis

Sei ${}q=p^{m}$. Wenn ${}K$ ein Unterkörper von ${}L$ ist, so ist ${}L$ ein ${}K$-Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von ${}L$ eine Potenz von ${}q$ sein. Aus

${}p^{n}=q^{k}=(p^{m})^{k}=p^{mk}\,$

ergibt sich sofort, dass ${}n$ ein Vielfaches von ${}m$ ist.

Es sei umgekehrt ${}m$ ein Teiler von ${}n$. Die Frobeniusiteration ${}\Phi ^{m}$ auf ${}L$ erzeugt eine Untergruppe ${}H$ der nach Fakt zyklischen Galoisgruppe von ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq L$. Die Ordnung von ${}H$ ist ${}n/m$. Es sei ${}M=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq L$ der zugehörige Fixkörper. Dann besitzt die Körpererweiterung ${}M\subseteq L$ nach Fakt den Grad ${}n/m$ und somit besitzt ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq M$ den Grad ${}m$. Daher besitzt ${}M$ gerade ${}p^{m}$ Elemente und ist daher wegen Fakt isomorph zu ${}K$.

$\Box$