Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß ${}\lambda _{V}$ auf den Borelmengen von ${}V$, das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert ${}1$ zuweist.

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und es sei

$L_{u}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

die dadurch definierte lineare Isometrie. Dann ist das Bildmaß ${}L_{u*}\lambda ^{n}$ nach Fakt translationsinvariant und besitzt auf dem von den ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ erzeugten Parallelotop den Wert ${}1$. Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert ${}1$ zuweist. Es sei also ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop ${}P_{v}$ und der zugehörigen Isometrie

$L_{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i}.$

Dann ist

${}L_{u}^{-1}(P_{v})={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}{\left(L_{v}^{-1}(P_{v})\right)}={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}(E)\,,$

wobei ${}E$ den Einheitswürfel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Da ${}L_{v}^{-1}\circ L_{u}$ eine Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist, folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$

Das in dieser Aussage für euklidische Vektorräume definierte Maß heißt ebenfalls Borel-Lebesgue-Maß.

Satz

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda _{V}$ auf ${}V$

${}\lambda _{V}(P)={\left(\det(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\,.$

Beweis

Die Positivität der Determinante der Gramschen Matrix folgt aus Fakt. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und es sei

${}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\,.$

Die Spalten der Matrix  ${}A=(a_{kj})_{kj}$  sind also die Koeffizienten von ${}v_{j}$ bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach Fakt und aufgrund der Definition des Maßes ${}\lambda _{V}$ in Fakt ist somit

${}\lambda _{V}(P)=\vert {\det A}\vert \,.$

Wegen

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj}\,$

ist

${}{A^{\text{tr}}}A=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{ij}\,.$

Nach Fakt ist  ${}\det A=\det {A^{\text{tr}}}$,  sodass sich die Aussage aus Fakt ergibt.

$\Box$

Die vorstehende Aussage erlaubt es, auch bei  ${}k<n$  das ${}k$-dimensionale Maß eines ${}k$-dimensionalen Parallelotops im ${}\mathbb {R} ^{n}$ auszurechnen (ihr ${}n$-dimensionales Maß ist ${}0$, da sie in einem echten Untervektorraum liegen). Die einfachste Situation liegt bei  ${}k=1$  vor, dann handelt es sich um eine einfache Längenberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes. Ein typischeres Beispiel ist die Flächenberechnung eines Parallelogramms im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Beispiel

Wir betrachten das von den Vektoren ${}{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}$ aufgespannte Parallelogramm im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Nach Fakt müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist

$\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}\right\rangle =13,\,\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =2,\,\left\langle {\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =21.$

Dies führt zur Matrix

${\begin{pmatrix}13&2\\2&21\end{pmatrix}}$

mit der Determinante ${}269$. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also ${}{\sqrt {269}}$.