Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Textabschnitt

Satz

Es sei $(V, ⟨ -, - ⟩)$ ein euklidischer Vektorraum.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß $λ_{V}$ auf den Borelmengen von $V$ , das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert $1$ zuweist.

Beweis

Es sei $u_{1}, \dots, u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und es sei

L_{u} : ℝ^{n} ⟶ V, e_{i} ⟼ u_{i},

die dadurch definierte lineare Isometrie. Dann ist das Bildmaß $L_{u *} λ^{n}$ nach Fakt translationsinvariant und besitzt auf dem von den $u_{1}, \dots, u_{n}$ erzeugten Parallelotop den Wert $1$ . Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert $1$ zuweist. Es sei also $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop $P_{v}$ und der zugehörigen Isometrie

L_{v} : ℝ^{n} ⟶ V, e_{i} ⟼ v_{i} .

Dann ist

L_{u}^{- 1} (P_{v}) = {(L_{v}^{- 1} \circ L_{u})}^{- 1} (L_{v}^{- 1} (P_{v})) = {(L_{v}^{- 1} \circ L_{u})}^{- 1} (E),

wobei $E$ den Einheitswürfel im $ℝ^{n}$ bezeichnet. Da $L_{v}^{- 1} \circ L_{u}$ eine Isometrie des $ℝ^{n}$ ist, folgt die Aussage aus Fakt.

◻

Das in dieser Aussage für euklidische Vektorräume definierte Maß heißt ebenfalls Borel-Lebesgue-Maß.

Satz

Es sei $(V, ⟨ -, - ⟩)$ ein euklidischer Vektorraum, sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ und sei $P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß $λ_{V}$ auf $V$

$λ_{V} (P) = {(det (⟨ v_{i}, v_{j} ⟩)_{1 \leq i, j \leq n})}^{1 / 2} .$

Beweis

Die Positivität der Determinante der Gramschen Matrix folgt aus Fakt. Es sei $u_{1}, \dots, u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und es sei

v_{j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k j} u_{k} .

Die Spalten der Matrix $A = (a_{k j})_{k j}$ sind also die Koeffizienten von $v_{j}$ bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach Fakt und aufgrund der Definition des Maßes $λ_{V}$ in Fakt ist somit

λ_{V} (P) = | det A | .

Wegen

⟨ v_{i}, v_{j} ⟩ = ⟨ \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} u_{k}, \sum_{k = 1}^{n} a_{k j} u_{k} ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} a_{k j}

ist

A^{tr} A = (⟨ v_{i}, v_{j} ⟩)_{i j} .

Nach Fakt ist $det A = det A^{tr}$ , sodass sich die Aussage aus Fakt ergibt.

◻

Die vorstehende Aussage erlaubt es, auch bei $k < n$ das $k$ -dimensionale Maß eines $k$ -dimensionalen Parallelotops im $ℝ^{n}$ auszurechnen (ihr $n$ -dimensionales Maß ist $0$ , da sie in einem echten Untervektorraum liegen). Die einfachste Situation liegt bei $k = 1$ vor, dann handelt es sich um eine einfache Längenberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes. Ein typischeres Beispiel ist die Flächenberechnung eines Parallelogramms im $ℝ^{3}$ .

Beispiel

Wir betrachten das von den Vektoren $(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix})$ aufgespannte Parallelogramm im $ℝ^{3}$ . Nach Fakt müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist

⟨ (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) ⟩ = 13, ⟨ (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) ⟩ = 2, ⟨ (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) ⟩ = 21.

Dies führt zur Matrix

(\begin{matrix} 13 & 2 \\ 2 & 21 \end{matrix})

mit der Determinante $269$ . Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also $\sqrt{269}$ .