Fundamentalsatz der Algebra/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei $z \in ℂ$ eine komplexe Zahl und $n \in ℕ_{+}$ .

Dann gibt es eine komplexe Zahl $w$ mit

$w^{n} = z .$

Beweis

Bei $z = 0$ ist $w = 0$ eine Lösung, sei also $z \neq 0$ . Nach Fakt gibt es eine Darstellung

z = r e^{i φ}

mit $r \in ℝ_{+}$ . Es sei $s = r^{1 / n}$ die reelle $n$ -te Wurzel von $r$ , die nach Fakt existiert. Wir setzen $w = s e^{\frac{i φ}{n}}$ . Dann ist nach Fakt

w^{n} = {(s e^{\frac{i φ}{n}})}^{n} = s^{n} {(e^{\frac{i φ}{n}})}^{n} = r e^{n \frac{i φ}{n}} = r e^{i φ} = z .

◻

Satz

Es sei $T \subseteq ℝ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

f : T ⟶ ℝ

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein $x \in T$ mit

$f (x) \geq f (x^{'}) für alle x^{'} \in T .$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Aufgrund von Fakt ist $f (T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist $f (T) \leq M$ für eine reelle Zahl $M$ . Wegen $T \neq \emptyset$ besitzt $f (T)$ wegen Fakt ein Supremum $s$ in $ℝ$ , das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu $f (T)$ gehört, also das Maximum von $f (T)$ ist. Daher gibt es auch ein $x \in T$ mit $f (x) = s$ .

◻

Satz

Es sei $P \in 𝕂 [X]$ ein Polynom.

Dann gibt es ein $w \in 𝕂$ mit

$| P (z) | \geq | P (w) |$

für alle $z \in 𝕂$ .

D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.

Beweis

Es sei

P (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}

(mit $a_{n} \neq 0$ ). Wir setzen $a := max (| a_{i} |, i = 0, \dots, n - 1)$ und $r := max (\frac{n a + | a_{0} | + 1}{| a_{n} |}, 1)$ . Bei $n = 0$ ist die Aussage klar, sei also $n \geq 1$ . Für $z$ mit $| z | \geq r$ gelten die Abschätzungen

\begin{matrix} | P (z) | & \geq | a_{n} z^{n} | - | \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} z^{i} | \\ \geq | a_{n} | | z |^{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | | z |^{i} \\ \geq | a_{n} | | z |^{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} a | z |^{n - 1} \\ \geq | z |^{n - 1} (| a_{n} | | z | - n a) \\ \geq | a_{0} | + 1 \\ > | a_{0} | . \end{matrix}

Auf der kompakten Menge $B (0, r)$ nimmt die stetige Funktion $z \mapsto | P (z) |$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein $w \in B (0, r)$ mit $| P (z) | \geq | P (w) |$ für alle $z \in B (0, r)$ . Wegen $| a_{0} | = | P (0) | \geq | P (w) |$ und der Überlegung für $z$ mit $| z | \geq r$ ergibt sich, dass im Punkt $w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.

◻

Satz

Jedes nichtkonstante Polynom $P \in ℂ [X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Beweis

Es sei $P \in ℂ [X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Fakt gibt es ein $z_{0} \in ℂ$ mit $| P (z) | \geq | P (z_{0}) |$ für alle $z \in ℂ$ . Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum $0$ ist. Wir nehmen also an, dass $| P (z_{0}) | > 0$ ist, und müssen dann ein $z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen $z - z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle $0$ angenommen wird, und durch Division durch $P (z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert $1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

P = 1 + c_{k} z^{k} + c_{k + 1} z^{k + 1} + \dots + c_{d} z^{d}

mit $k \geq 1$ und $c_{k} \neq 0$ vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Fakt gibt es ein $γ \in ℂ$ mit $γ^{k} = - c_{k}^{- 1}$ . Wir setzen $z = γ w$ (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen $w$ erhalten wir ein Polynom der Form

1 - w^{k} + w^{k + 1} Q (w),

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist $Q (w) \in ℂ [w]$ ein Polynom). Aufgrund von Fakt gibt es ein $b \in ℝ_{+}$ mit $| Q (w) | \leq b$ für alle $w \in B (0, 1)$ . Für reelles $w$ mit $0 < w < min (1, b^{- 1})$ gilt

\begin{matrix} | 1 - w^{k} + w^{k + 1} Q (w) | & \leq | 1 - w^{k} | + | w^{k + 1} Q (w) | \\ = 1 - w^{k} + w^{k + 1} | Q (w) | \\ = 1 - w^{k} (1 - w | Q (w) |) \\ < 1. \end{matrix}

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.

◻