Fundamentalsatz der Algebra/Einführung/Textabschnitt

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Satz  

Sei eine komplexe Zahl und .

Dann gibt es eine komplexe Zahl mit

Beweis  

Bei ist eine Lösung, sei also . Nach Fakt gibt es eine Darstellung

mit . Es sei die reelle -te Wurzel von , die nach Fakt existiert. Wir setzen . Dann ist nach Fakt




Satz  

Sei eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

eine stetige Funktion.

Dann gibt es mit

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis  

Aufgrund von Fakt ist kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist für eine reelle Zahl . Wegen besitzt wegen Fakt ein Supremum in , das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu gehört, also das Maximum von ist. Daher gibt es auch ein mit .




Satz  

Sei ein Polynom.

Dann gibt es ein mit

für alle .

D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.

Beweis  

Es sei

(mit ). Wir setzen und . Bei ist die Aussage klar, sei also . Für mit gelten die Abschätzungen

Auf der kompakten Menge nimmt die stetige Funktion nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein mit für alle . Wegen und der Überlegung für mit

ergibt sich, dass im Punkt überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.




Satz  

Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Beweis  

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Fakt gibt es ein mit für alle . Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum ist. Wir nehmen also an, dass ist, und müssen dann ein finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle angenommen wird, und durch Division durch können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

mit und vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Fakt gibt es ein mit . Wir setzen (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen erhalten wir ein Polynom der Form

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist ein Polynom). Aufgrund von Fakt gibt es ein mit für alle . Für reelles mit gilt

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.