Galoistheorie/Kompositum/Textabschnitt

Wir betrachten eine wichtige Konstruktion, das sogenannte Kompositum.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$ zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in ${}L$). Es wird mit ${}M_{1}M_{2}$ bezeichnet.

Das Kompositum hängt vom Oberkörper ab. Wenn man von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq M_{1}$ und ${}K\subseteq M_{2}$ ausgeht, so sichert Aufgabe, dass es überhaupt einen gemeinsamen Oberkörper gibt.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper ${}M$, in dem das Kompositum ${}L'=LK'$ gebildet sei.

Dann ist ${}K'\subseteq L'$ ebenfalls eine endliche separable Körpererweiterung.

Beweis

Es sei ${}K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ separabel, und seien ${}F_{i}\in K[X]$ die zu ${}x_{i}$ gehörigen (separablen) Minimalpolynome. Dann ist ${}L'=K'[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und die Minimalpolynome ${}G_{i}$ der ${}x_{i}$ über ${}K'$ sind in ${}K'[X]$ Teiler der ${}F_{i}$ und daher selbst separabel. Nach Fakt ist ${}K'\subseteq L'$ eine separable Körpererweiterung.

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Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper ${}M$, in dem das Kompositum ${}L'=LK'$ gebildet sei.

Dann ist ${}K'\subseteq L'$ ebenfalls eine normale Körpererweiterung.

Beweis

Wir können ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ schreiben, und wir wissen, dass es zugehörige Polynome ${}F_{i}\in K[X]$ mit ${}F_{i}(x_{i})=0$ gibt, die über ${}L$ zerfallen. Daher ist ${}L'=K'[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und dieselben Polynome, aufgefasst in ${}K'[X]$, erfüllen die gleichen Eigenschaften. Aus Fakt  (3) ergibt sich die Normalität.

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Aus diesen zwei Lemmata ergibt sich der folgende Satz, der für die Charakterisierung der auflösbaren Körpererweiterungen wichtig ist.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper ${}M$, in dem das Kompositum ${}L'=LK'$ gebildet sei.

Dann ist ${}K'\subseteq L'$ ebenfalls eine endliche Galoiserweiterung, und für ihre Galoisgruppe gilt die natürliche Isomorphie

${}\operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\cong \operatorname {Gal} \,(L{|}L\cap K')\,.$

Beweis

Die Erweiterung ${}K'\subseteq L'$ ist normal nach Fakt und separabel nach Fakt, also eine Galoiserweiterung aufgrund von Fakt.
Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung

$\Psi \colon \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{L},$

aus, die wegen der Normalität von ${}K\subseteq L$ nach Fakt  (4) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also ${}\varphi {|}_{L}=\operatorname {Id} _{L}$. Da auch ${}\varphi {|}_{K'}=\operatorname {Id} _{K'}$ gilt, ist ${}\varphi$ auf dem Kompositum ${}L'=LK'$ die Identität, also das neutrale Element. Daher ist ${}\Psi$ nach dem Kernkriterium injektiv.
Das Bild von ${}\Psi$ ist eine Untergruppe ${}H=\operatorname {bild} \Psi \subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Aufgrund der Galoiskorrespondenz gibt es einen Zwischenkörper ${}Z$, ${}K\subseteq Z\subseteq L$, mit ${}H=\operatorname {Gal} \,(L{|}Z)$, und zwar ist ${}Z$ der Fixkörper von ${}H$. Es liegt also insgesamt die Situation

$\operatorname {Gal} \,(L'{|}K'){\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \Psi =H=\operatorname {Gal} \,(L{|}Z)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$

vor. Wir behaupten ${}L\cap K'=Z$. Für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ ist ${}\varphi {|}_{K'}=\operatorname {Id} _{K'}$, und daher ist auch ${}(\varphi {|}_{L}){|}_{L\cap K'}=\operatorname {Id} _{L\cap K'}$. Also ist ${}L\cap K'\subseteq Z$. Wenn ${}x\in Z$ ist, so bedeutet dies, dass für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ die Gleichheit ${}(\varphi {|}_{L})(x)=x$ gilt. Dann ist aber ${}x\in K'$ nach Fakt, da ${}K'\subseteq L'$ eine Galoiserweiterung ist. Somit ist ${}x\in L\cap K'$. Insgesamt ist also

${}\operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\cong \operatorname {bild} \Psi =\operatorname {Gal} \,(L{|}L\cap K')\,.$

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