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Gewöhnliche Differentialgleichungen/Zentralfeld/Einführung/Textabschnitt

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Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , ein Intervall und es sei

eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

ein Zentralfeld.

Bei einem Zentralfeld sind also der Ortsvektor und der Richtungsvektor linear abhängig, d.h. der Richtungsvektor weist in Richtung des Ortsvektors. Daher findet die durch ein Zentralfeld definierte Bewegung allein auf der durch einen Ortspunkt und den Nullpunkt (dem Zentrum) festgelegten Geraden statt. Es handelt sich also im Grunde um einen eindimensional festgelegten Bewegungsvorgang, was auch im folgenden Lemma zum Ausdruck kommt.


Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum . Es sei

ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion

Es sei und es sei

eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

Dann ist

eine Lösung des Anfangswertproblems

Es ist

und

sodass eine Lösung des Anfangswertproblems vorliegt.



Wir betrachten das Zentralfeld zum zeitunabhängigen identischen Vektorfeld

die beschreibende Hilfsfunktion ist also durch

gegeben. Es sei und vorgegeben. Nach Fakt müssen wir die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung betrachten, die gesuchte Lösung ist

Daher ist

die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.



Wir betrachten das Zentralfeld zur Funktion

also das Vektorfeld

und die Anfangsbedingung . Um dieses Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir gemäß Fakt die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung lösen. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, nach Fakt ist

die Lösung mit . Daher ist

die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.