Gewöhnliche Differentialgleichungen/Zentralfeld/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)$

eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

ein Zentralfeld.

Bei einem Zentralfeld sind also der Ortsvektor und der Richtungsvektor linear abhängig, d.h. der Richtungsvektor weist in Richtung des Ortsvektors. Daher findet die durch ein Zentralfeld definierte Bewegung allein auf der durch einen Ortspunkt und den Nullpunkt (dem Zentrum) festgelegten Geraden statt. Es handelt sich also im Grunde um einen eindimensional festgelegten Bewegungsvorgang, was auch im folgenden Lemma zum Ausdruck kommt.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$. Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$

Es sei ${}w\in U$ und es sei

$\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

$z'=h(t,z):=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1.$

Dann ist

${}v(t)=\alpha (t)\cdot w\,$

eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}v'(t)&=(\alpha (t)\cdot w)'\\&=\alpha '(t)\cdot w\\&=g(t,\alpha (t)\cdot w)\cdot \alpha (t)\cdot w\\&=F(t,\alpha (t)\cdot w)\\&=F(t,v(t))\end{aligned}}$

und

${}v(t_{0})=\alpha (t_{0})\cdot w=w\,,$

sodass eine Lösung des Anfangswertproblems vorliegt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten das Zentralfeld zum zeitunabhängigen identischen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto v,$

die beschreibende Hilfsfunktion ist also durch

${}g(t,v)=1\,$

gegeben. Es sei ${}t_{0}$ und ${}w\in V$ vorgegeben. Nach Fakt müssen wir die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung ${}z'=z$ betrachten, die gesuchte Lösung ist

${}z(t)=e^{t-t_{0}}\,.$

Daher ist

${}v(t)=e^{t-t_{0}}w\,$

die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.

Beispiel

Wir betrachten das Zentralfeld zur Funktion

$g\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto g(t,x,y)={\frac {t^{2}x^{2}}{y}},$

also das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\frac {t^{2}x^{2}}{y}}\cdot \left(x,\,y\right)=\left({\frac {t^{2}x^{3}}{y}},\,t^{2}x^{2}\right),$

und die Anfangsbedingung ${}\varphi (0)=(4,-3)$. Um dieses Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir gemäß Fakt die eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung

${}z'=g(t,4z,-3z)\cdot z={\frac {t^{2}16z^{2}}{-3z}}\cdot z=-{\frac {16}{3}}t^{2}z^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}z(0)=1$ lösen. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, nach Fakt ist

${}z(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\,$

die Lösung mit ${}z(0)=1$. Daher ist

${}v(t)={\frac {1}{{\frac {16}{9}}t^{3}+1}}\left(4,\,-3\right)\,$

die Lösung des Anfangswertproblems zum Zentralfeld.