Graduierte Algebren/Graduierte Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $K$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

$A=\underset{d\in D}{⨁}{A}_d$

mit $K$-Untervektorräumen $A_d$ derart gibt, dass  $K\subseteq A_0$  ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung

$A_d\cdot A_e\subseteq A_{d+e}$

gilt.

Bemerkung  

In einer $D$-graduierten $K$-Algebra besitzt jedes Element  $a\in A$  eine eindeutige Darstellung

$a=\sum _{d\in D}{a}_d\text{ mit }{a}_d\in A_d,$

wobei nur endlich viele der $a_d$ ungleich $0$ sein können. Die $a_d$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$, die $A_d$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$-te Stufe) und Elemente  $a\in A_d$  heißen homogen vom Grad $d$. Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall  $A_d=0$  ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a\in A_d$ und $b\in A_e$ die Produkte $ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_1,\dots ,X_n]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $K$. Dieser ist in naheliegender Weise $\mathbb{Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom $X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$ den Grad durch $k_1+k_2+\cdots +k_n$ und setzt $A_d$ als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $K$-Algebra entsteht. Es ist  $A_0=K$  und  $A_n=0$  für negativen Grad $n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper,  $a\in K$  und  $n\in \mathbb{N}$.  Dann besitzt die Restklassenalgebra  $A=K[X]/(X^n-a)$  eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe  $D=\mathbb{Z}/(n)$,  und zwar setzt man (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei)

$A_d=\{\lambda x^d\mid \lambda \in K\}.$

Jedes Element  $f\in A$  kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad $n-1$ besitzt. Daher besitzt jedes $f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den $A_d$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung  $X^n=a$  nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus  $\lambda x^d\cdot \mu x^e=\lambda \mu x^{d+e}$,  und dies ist gleich $\lambda \mu a{x}^{d+e-n}$, falls  $d+e\ge n$  ist, und andernfalls gleich $\lambda \mu x^{d+e}$. So oder so ist es ein Element aus $A_{d+e}$.

Im vorstehenden Beispiel ist es eine nicht-triviale Frage, unter welchen Bedingungen die Algebra $A$ wieder ein Körper ist. Falls ja, so liegt eine graduierte Körpererweiterung im Sinne der folgenden Definition vor.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer $D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$,  bei der auf $L$ eine $D$-Graduierung  $L=\underset{d\in D}{⨁}{L}_d$  mit  $L_0=K$  und  $L_d\ne 0$  für alle $d\in D$ gegeben ist.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und  $K\subseteq L$  eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. Jede homogene Stufe $L_d$ besitzt die $K$-Dimension $1$.
2. Es ist  ${\mathrm{grad}}_{K}L=\mathrm{\#}\left(D\right)$. 
3. Es sei  $D=(d_1,\dots ,d_m)$  ein Erzeugendensystem von $D$ und es sei $x_i\in L_{d_i}$, $x_i\ne 0$, fixiert. Dann ist  $L=K[x_1,\dots ,x_m]$.  Insbesondere wird $L$ von homogenen Elementen erzeugt.
4. Jedes homogene Element $x\in L_d$, $x\ne 0$, besitzt ein Minimalpolynom der Form $X^n-a$ mit  $a\in K$. 
5. Die Körpererweiterung  $K\subseteq L$  ist eine Radikalerweiterung.

Beweis

(1). Nach Voraussetzung ist  $L_d\ne 0$.  Es seien $a,b\in L_d$ von $0$ verschieden und sei $c\in L_{-d}$ ebenfalls $\ne 0$. Dann sind $ca$ und $cb$ Elemente $\ne 0$ in  $L_0=K$  und daher besteht die Beziehung  $ca=\lambda cb$  mit $\lambda \in K$, die sich durch Multiplikation mit $c^{-1}$ (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu  $a=\lambda b$. 
(2) folgt direkt aus (1).
(3) ist klar wegen (1).
(4). Es sei $n\in \mathbb{N}$ die Ordnung von $d\in D$. Für ein homogenes Element $x\in L_d$, $x\ne 0$, ist daher

$a=x^n\in L_{nd}=L_0=K.$

Also ist $X^n-a\in K[X]$ ein annullierendes Polynom. Die Potenzen $x^i$, $0\le i\le n-1$, liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben.
(5) folgt aus (3) und (4).

$◻$