Graduierte Algebren/Graduierte Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper und eine kommutative Gruppe. Eine -Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

mit -Untervektorräumen derart gibt, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung

gilt.

Bemerkung  

In einer -graduierten -Algebra besitzt jedes Element eine eindeutige Darstellung

wobei nur endlich viele der ungleich sein können. Die heißen dabei die homogenen Komponenten von , die heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von (oder -te Stufe) und Elemente heißen homogen vom Grad . Die Gruppe heißt die graduierende Gruppe. Der Fall ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente und die Produkte kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.




Beispiel  

Es sei ein Körper und der Polynomring in Variablen über . Dieser ist in naheliegender Weise -graduiert. Man definiert für ein Monom den Grad durch und setzt als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, so dass dadurch eine graduierte -Algebra entsteht. Es ist und für negativen Grad . Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.



Beispiel  

Es sei ein Körper, und . Dann besitzt die Restklassenalgebra eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe , und zwar setzt man (wobei die Restklasse von sei)

Jedes Element kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad besitzt. Daher besitzt jedes eine Summendarstellung mit Summanden aus den . Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus , und dies ist gleich , falls ist, und andernfalls gleich . So oder so ist es ein Element aus .


Im vorstehenden Beispiel ist es eine nicht-triviale Frage, unter welchen Bedingungen die Algebra wieder ein Körper ist. Falls ja, so liegt eine graduierte Körpererweiterung im Sinne der folgenden Definition vor.


Definition  

Es sei ein Körper und eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer -graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung , bei der auf eine -Graduierung mit und für alle gegeben ist.



Lemma  

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften

  1. Jede homogene Stufe besitzt die -Dimension .
  2. Es ist .
  3. Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei , , fixiert. Dann ist . Insbesondere wird von homogenen Elementen erzeugt.
  4. Jedes homogene Element , , besitzt ein Minimalpolynom der Form mit .
  5. Die Körpererweiterung ist eine Radikalerweiterung.

Beweis  

(1). Nach Voraussetzung ist . Seien von verschieden und sei ebenfalls . Dann sind und Elemente in und daher besteht die Beziehung mit , die sich durch Multiplikation mit (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu .
(2) folgt direkt aus (1).
(3) ist klar wegen (1).
(4). Sei die Ordnung von . Für ein homogenes Element , , ist daher

Also ist ein annullierendes Polynom. Die Potenzen , , liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben.
(5) folgt aus (3) und (4).