Graduierte Algebren/Graduierte Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}D$ eine kommutative Gruppe. Eine ${}K$-Algebra ${}A$ heißt ${}D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

mit ${}K$-Untervektorräumen ${}A_{d}$ derart gibt, dass  ${}K\subseteq A_{0}$  ist und für die Multiplikation auf ${}A$ die Beziehung

${}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$

gilt.

Bemerkung  

In einer ${}D$-graduierten ${}K$-Algebra besitzt jedes Element  ${}a\in A$  eine eindeutige Darstellung

$a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$

wobei nur endlich viele der ${}a_{d}$ ungleich ${}0$ sein können. Die ${}a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von ${}a$, die ${}A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von ${}A$ (oder ${}d$-te Stufe) und Elemente  ${}a\in A_{d}$  heißen homogen vom Grad ${}d$. Die Gruppe ${}D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall  ${}A_{d}=0$  ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra ${}A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente ${}a\in A_{d}$ und ${}b\in A_{e}$ die Produkte ${}ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}K$. Dieser ist in naheliegender Weise ${}\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom ${}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch ${}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt ${}A_{d}$ als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad ${}d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte ${}K$-Algebra entsteht. Es ist  ${}A_{0}=K$  und  ${}A_{n}=0$  für negativen Grad ${}n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}a\in K$  und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann besitzt die Restklassenalgebra  ${}A=K[X]/(X^{n}-a)$  eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe  ${}D=\mathbb {Z} /(n)$,  und zwar setzt man (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ sei)

${}A_{d}={\left\{\lambda x^{d}\mid \lambda \in K\right\}}\,.$

Jedes Element  ${}f\in A$  kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad ${}n-1$ besitzt. Daher besitzt jedes ${}f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den ${}A_{d}$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung  ${}X^{n}=a$  nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus  ${}\lambda x^{d}\cdot \mu x^{e}=\lambda \mu x^{d+e}$,  und dies ist gleich ${}\lambda \mu ax^{d+e-n}$, falls  ${}d+e\geq n$  ist, und andernfalls gleich ${}\lambda \mu x^{d+e}$. So oder so ist es ein Element aus ${}A_{d+e}$.

Im vorstehenden Beispiel ist es eine nicht-triviale Frage, unter welchen Bedingungen die Algebra ${}A$ wieder ein Körper ist. Falls ja, so liegt eine graduierte Körpererweiterung im Sinne der folgenden Definition vor.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer ${}D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$,  bei der auf ${}L$ eine ${}D$-Graduierung  ${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$  mit  ${}L_{0}=K$  und  ${}L_{d}\neq 0$  für alle ${}d\in D$ gegeben ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und  ${}K\subseteq L$  eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. Jede homogene Stufe ${}L_{d}$ besitzt die ${}K$-Dimension ${}1$.
2. Es ist  ${}\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(D\right)}$. 
3. Es sei  ${}D=(d_{1},\ldots ,d_{m})$  ein Erzeugendensystem von ${}D$ und es sei ${}x_{i}\in L_{d_{i}}$, ${}x_{i}\neq 0$, fixiert. Dann ist  ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]$.  Insbesondere wird ${}L$ von homogenen Elementen erzeugt.
4. Jedes homogene Element ${}x\in L_{d}$, ${}x\neq 0$, besitzt ein Minimalpolynom der Form ${}X^{n}-a$ mit  ${}a\in K$. 
5. Die Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  ist eine Radikalerweiterung.

Beweis

(1). Nach Voraussetzung ist  ${}L_{d}\neq 0$.  Es seien ${}a,b\in L_{d}$ von ${}0$ verschieden und sei ${}c\in L_{-d}$ ebenfalls ${}\neq 0$. Dann sind ${}ca$ und ${}cb$ Elemente ${}\neq 0$ in  ${}L_{0}=K$  und daher besteht die Beziehung  ${}ca=\lambda cb$  mit ${}\lambda \in K$, die sich durch Multiplikation mit ${}c^{-1}$ (dieses Element gibt es, da wir in einem Körper sind) zurückübersetzt zu  ${}a=\lambda b$. 
(2) folgt direkt aus (1).
(3) ist klar wegen (1).
(4). Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ die Ordnung von ${}d\in D$. Für ein homogenes Element ${}x\in L_{d}$, ${}x\neq 0$, ist daher

${}a=x^{n}\in L_{nd}=L_{0}=K\,.$

Also ist ${}X^{n}-a\in K[X]$ ein annullierendes Polynom. Die Potenzen ${}x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, liegen alle in verschiedenen homogenen Stufen. Daher sind sie linear unabhängig und es kann kein annullierendes Polynom von kleinerem Grad geben.
(5) folgt aus (3) und (4).

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