Gruppenhomomorpismen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Die Menge der Gruppenhomomorphismen von ${}G$ nach ${}H$ wird mit

$\operatorname {Hom} {\left(G,H\right)}$

bezeichnet. Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind insbesondere Gruppenhomomorphismen. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes ${}g\in G$.

Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

${}\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$

Durch Multiplikation mit ${}\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt ${}e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$

Das heißt, dass ${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von ${}\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss ${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$ gelten.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}F,G,H$ Gruppen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} \colon G\longrightarrow G$

   ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Sind ${}\varphi :F\rightarrow G$ und ${}\psi :G\rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi \colon F\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
3. Ist ${}F\subseteq G$ eine Untergruppe, so ist die Inklusion ${}F\hookrightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus.
4. Es sei ${}\{e\}$ die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung ${}\{e\}\rightarrow G$, die ${}e$ auf ${}e_{G}$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung ${}G\rightarrow \{e\}$ ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ fixiert. Die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto dn,$

ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für ${}d\geq 1$ ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe ${}\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$. Bei ${}d=0$ liegt die Nullabbildung vor. Bei ${}d=1$ ist die Abbildung die Identität, bei ${}d\geq 2$ ist die Abbildung nicht surjektiv.

Beispiel

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Menge

${}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$

mit der in Aufgabe beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),$

die eine ganze Zahl ${}n$ auf ihren Rest bei Division durch ${}d$ abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich ${}m=ad+r$ und ${}n=bd+s$ mit ${}0\leq r,s<d$ gegeben, so ist

${}m+n=(a+b)d+r+s\,,$

wobei allerdings ${}r+s\geq d$ sein kann. In diesem Fall ist

${}\varphi (m+n)=r+s-d\,$

und das stimmt mit der Addition von ${}r$ und ${}s$ in ${}\mathbb {Z} /(d)$ überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.

Beispiel

Zu einem Körper ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist die Determinante

$\det \colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{\times },\,M\longmapsto \det M,$

ein Gruppenhomomorphismus. Dies beruht auf dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.

Beispiel

Die Zuordnung

$S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),$

wobei ${}S_{n}$ die Permutationsgruppe zu ${}n$ Elementen bezeichnet, ist nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1).$

Beweis

Es sei ${}g\in G$ fixiert. Dass die Abbildung

$\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen ${}\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch ${}\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da ${}\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$ für ${}n$ positiv und ${}\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$ für ${}n$ negativ gelten muss.

$\Box$

Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch ${}G\cong \operatorname {Hom} {\left(\mathbb {Z} ,G\right)}$ ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe ${}G$ nach ${}\mathbb {Z}$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Z}$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl ${}a$, also

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax.$