Hilbertraum/Untervektorraum/Projektion/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein -Hilbertraum und sei eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.

Dann enthält einen eindeutigen Punkt , in dem die Norm (unter allen Punkten aus ) das Minimum annimmt.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.



Korollar  

Es sei ein -Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem Punkt einen eindeutigen Punkt , für den der Abstand von zu Punkten aus minimal wird.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.



Korollar  

Es sei ein -Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem eine eindeutige Darstellung

mit und .

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.



Definition  

Es sei ein -Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum. Die Abbildung , die jedem Element das aus der nach Fakt eindeutigen Zerlegung mit und zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf .



Lemma  

Es sei ein -Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum mit dem orthogonalen Komplement . Dann gelten folgenden Aussagen.

  1. ist ebenfalls abgeschlossen.
  2. Es gilt
  3. ist linear und stetig.

Beweis  

  1. Siehe Aufgabe.
  2. Klar.
  3. Eine mehrfache Anwendung von (2) liefert
    Die Linearität folgt durch Vergleich der Summanden in und in . Wegen
    ist

    woraus die Stetigkeit mit Fakt folgt.



Lemma  

Es sei ein -Hilbertraum und sei

eine stetige Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor mit

für alle .

Beweis  

Bei der Nullabbildung ist zu nehmen, sei also nicht die Nullabbildung. Es sei mit und sei . Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist ein abgeschlossener Untervektoraum von . Das orthogonale Komplement ist eindimensional: Zu gibt es mit , daher ist und wegen der Orthogonalität ist . Wir schreiben

mit und im Sinne von Fakt. Es ist . Wir setzen

dies sichert

Für mit der kanonischen Zerlegung

ist dann



Lemma  

Es sei ein -Hilbertraum und eine Teilmenge.

Dann erzeugt genau dann einen dichten Untervektorraum in , wenn die Eigenschaft

für alle nur für gilt.

Beweis  

Es erzeuge zuerst einen dichten Untervektorraum und sei gegeben mit

für alle . Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle . Wegen der Dichtheit von gibt es eine Folge , die gegen konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge gegen . also ist .

Es erzeuge nun einen Untervektorraum , der nicht dicht sei, es sei

und sei . Es sei die Zerlegung im Sinne von Fakt mit und . Dann ist

dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus .