Hilbertraum/Untervektorraum/Projektion/Textabschnitt
Lemma
Es sei ein -Hilbertraum und sei eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.
Dann enthält einen eindeutigen Punkt , in dem die Norm (unter allen Punkten aus ) das Minimum annimmt.
Beweis
Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
Korollar
Es sei ein -Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem Punkt einen eindeutigen Punkt , für den der Abstand von zu Punkten aus minimal wird.
Beweis
Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
Korollar
Es sei ein -Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem eine eindeutige Darstellung
mit und .
Beweis
Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
Definition
Es sei ein -Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum. Die Abbildung , die jedem Element das aus der nach Fakt eindeutigen Zerlegung mit und zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf .
Lemma
Es sei ein -Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum mit dem orthogonalen Komplement . Dann gelten folgenden Aussagen.
- ist ebenfalls abgeschlossen.
- Es gilt
- ist linear und stetig.
Beweis
Lemma
Es sei ein -Hilbertraum und sei
eine stetige Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor mit
für alle .
Beweis
Bei der Nullabbildung ist zu nehmen, sei also nicht die Nullabbildung. Es sei mit und sei . Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist ein abgeschlossener Untervektoraum von . Das orthogonale Komplement ist eindimensional: Zu gibt es mit , daher ist und wegen der Orthogonalität ist . Wir schreiben
mit und im Sinne von Fakt. Es ist . Wir setzen
dies sichert
Für mit der kanonischen Zerlegung
ist dann
Lemma
Es sei ein -Hilbertraum und eine Teilmenge.
Dann erzeugt genau dann einen dichten Untervektorraum in , wenn die Eigenschaft
für alle nur für gilt.
Beweis
Es erzeuge zuerst einen dichten Untervektorraum und sei gegeben mit
für alle . Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle . Wegen der Dichtheit von gibt es eine Folge , die gegen konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge gegen . also ist .
Es erzeuge nun einen Untervektorraum , der nicht dicht sei, es sei
und sei . Es sei die Zerlegung im Sinne von Fakt mit und . Dann ist
dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus .