Hyperfläche/Normalkrümmung/Weingartenabbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Zu einem normierten Tangentialvektor ${}v\in T_{P}Y$ nennt man ${}\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle$ die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ in Richtung ${}v$. Sie wird mit ${}\kappa (P,v)=\kappa (v)$ bezeichnet.

Nach Fakt ist die Normalkrümmung gleich

${}\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle =\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(P)\right\rangle \,,$

wobei ${}\gamma$ eine Kurvenrealisierung des Tangentialvektors ${}v$ ist. Die Normalkrümmung misst also die normale Komponente der Beschleunigung der Kurve.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es seien ${}\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-1}$ die Hauptkrümmungen zu ${}Y$ in ${}P$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ zugehörige normierte Hauptkrümmungsrichtungen.

Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ in Richtung ${}v\in T_{P}Y$ gleich

${}\kappa (v)=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}\left\langle v,v_{i}\right\rangle ^{2}\,.$

Beweis

Mit ${}v=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}$ ist unter Verwendung der Orthogonalität

${}{\begin{aligned}\kappa (v)&=\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},L_{P}{\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}v_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}\left\langle v,v_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}$

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Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}v\in T_{P}Y$ ein von ${}0$ verschiedener Tangentenvektor und sei ${}u\in N_{P}Y$ ein von ${}0$ verschiedener Normalenvektor. Dann nennt man die Ebene ${}\mathbb {R} u+\mathbb {R} v$ eine Normalenebene zu ${}Y$ durch ${}P$.

Jeder Tangentialvektor ${}v\neq 0$ legt eine eindeutige Normalebene ${}E$ fest, die man zumeist als ${}P+E$ auffasst.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch ${}P$ an ${}Y$.

Dann ist der Durchschnitt ${}Y\cap (P+E)$ eine ebene Kurve in ${}P+E$, die im Punkt ${}P$ regulär ist.

Beweis

Nach einer Verschiebung können wir annehmen, dass ${}P$ der Nullpunkt des Raumes ist. Das totale Differential

$\left(Dh\right)_{0}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

ist surjektiv und der Kern ist der Tangentialraum ${}T_{P}Y$. Die Ebene ${}E$ enthält Normalenvektoren ${}\neq 0$, die nicht zum Kern gehören. Daher ist das totale Differential der zusammengesetzten Abbildung

$E\supseteq E\cap W\longrightarrow W{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

im Punkt ${}0$ surjektiv und somit kann man den Satz über implizite Abbildungen anwenden und erhält, dass die Faser eine im Punkt ${}0$ reguläre Kurve ist.

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Man beachte, dass der Kurvenschnitt nicht in jedem Punkt regulär sein muss.

Satz

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch ${}P$ an ${}Y$.

Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve ${}Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt ${}P$.

Beweis

Zur Notationsvereinfachung verschieben wir ${}P$ in den Nullpunkt. Nach Fakt ist der Durchschnitt ${}Y\cap E$ eine in ${}0$ reguläre Kurve, es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow Y\cap E$

eine zweifach differenzierbare bogenparametrisierte Realisierung davon. Nach Fakt ist die Normalkrümmung gleich ${}\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(0)\right\rangle$. Da die Normalebene den Einheitsnormalenvektor ${}N(0)$ enthält, spielt sich alles in der Ebene ${}E$ ab. Somit folgt die Aussage aus Fakt.

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