Ein
linearer Automorphismus auf einem
endlichdimensionalen
K
{\displaystyle {}K}
-Vektorraum
heißt
Pseudoreflektion
(oder Pseudospiegelung ),
wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form
(
1
0
⋯
⋯
0
0
1
0
⋯
0
⋮
⋱
⋱
⋱
⋮
0
⋯
0
1
0
0
⋯
⋯
0
ζ
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta \end{pmatrix}},}
wobei
ζ
≠
1
{\displaystyle {}\zeta \neq 1}
eine
Einheitswurzel
ist, beschrieben werden kann.
Eine Pseudoreflektion besitzt also eine Hyperebene
(einen
(
n
−
1
)
{\displaystyle {}(n-1)}
-dimensionalen Untervektorraum), auf der sie fix ist
(der
Eigenraum zum
Eigenwert
1
{\displaystyle {}1}
)
und einen weiteren dazu linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert
ζ
{\displaystyle {}\zeta }
. Die Ordnung der Einheitswurzel
ζ
{\displaystyle {}\zeta }
bestimmt auch die Ordnung der Pseudoreflektion. Das Inverse einer Pseudoreflektion ist wieder eine Pseudoreflektion.
Man beachte, dass dies keine Eigenschaft der
(abstrakten)
Gruppe
G
{\displaystyle {}G}
ist, sondern eine Eigenschaft der Untergruppe
G
⊆
GL
n
(
K
)
{\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}
. In einer Reflektionsgruppe kann man jedes Element
τ
{\displaystyle {}\tau }
als ein Produkt
τ
=
σ
1
⋯
σ
k
{\displaystyle {}\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}}
mit Pseudoreflektionen
σ
j
{\displaystyle {}\sigma _{j}}
schreiben.
Die Bedeutung von Reflektionsgruppen in der Invariantentheorie kommt im folgenden wichtigen Satz, dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd , zum Ausdruck.
Aus Dimensionsgründen ist klar, dass wenn der Invariantenring ein Polynomring ist, dieser
n
{\displaystyle {}n}
Variablen besitzt. Der Beweis dieses Satzes benutzt verschiedene Lemmata und verwendet die Theorie der Hilbert-Reihen. Hierbei werden verschiedene elementare Hilfsmittel aus der Theorie der Potenzreihen verwendet.
Für
v
∈
H
σ
{\displaystyle {}v\in H_{\sigma }}
ist
(
f
σ
−
f
)
(
v
)
=
f
(
σ
v
)
−
f
(
v
)
=
f
(
v
)
−
f
(
v
)
=
0
.
{\displaystyle {}(f\sigma -f)(v)=f(\sigma v)-f(v)=f(v)-f(v)=0\,.}
Das Polynom
f
σ
−
f
{\displaystyle {}f\sigma -f}
verschwindet also auf der
Nullstellenmenge von
L
σ
{\displaystyle {}L_{\sigma }}
. Wir können
L
σ
{\displaystyle {}L_{\sigma }}
zu einer Variablenmenge
L
σ
,
L
2
,
…
,
L
n
{\displaystyle {}L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n}}
ergänzen und
f
σ
−
f
=
P
(
L
σ
,
L
2
,
…
,
L
n
)
L
σ
+
Q
(
L
2
,
…
,
L
n
)
{\displaystyle {}f\sigma -f=P(L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n})L_{\sigma }+Q(L_{2},\ldots ,L_{n})\,}
schreiben. Das Polynom
Q
{\displaystyle {}Q}
verschwindet auf
H
σ
{\displaystyle {}H_{\sigma }}
und ist somit die Nullfunktion, also muss es auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein
algebraisch abgeschlossener Körper
der
Charakteristik
0
{\displaystyle {}0}
und
G
⊆
GL
n
(
K
)
{\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}
eine
Reflektionsgruppe .
Es sei
I
G
{\displaystyle {}I_{G}}
das
Ideal
in
K
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}
, das durch die homogenen Invarianten von einem positiven
Grad
erzeugt
wird. Es gelte
g
1
h
1
+
⋯
+
g
m
h
m
=
0
,
{\displaystyle {}g_{1}h_{1}+\cdots +g_{m}h_{m}=0\,,}
wobei die
h
1
,
…
,
h
m
∈
K
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle {}h_{1},\ldots ,h_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}
homogene Polynome und die
g
1
,
…
,
g
m
∈
K
[
X
1
,
…
,
X
n
]
G
{\displaystyle {}g_{1},\ldots ,g_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}}
invariante Polynome seien.
Dann ist
h
1
∈
I
G
{\displaystyle {}h_{1}\in I_{G}}
oder
g
1
∈
(
g
2
,
…
,
g
m
)
{\displaystyle {}g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})}
.
Wir führen Induktion über den Grad von
h
1
{\displaystyle {}h_{1}}
. Bei
h
1
=
0
{\displaystyle {}h_{1}=0}
gehört natürlich
h
1
{\displaystyle {}h_{1}}
zu
I
G
{\displaystyle {}I_{G}}
. Für
h
1
≠
0
{\displaystyle {}h_{1}\neq 0}
und
grad
(
h
i
)
=
0
{\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(h_{i})=0}
ist
g
1
∈
(
g
2
,
…
,
g
m
)
{\displaystyle {}g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})}
. Es sei also
grad
(
h
1
)
≥
1
{\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(h_{1})\geq 1}
und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei
g
1
∉
(
g
2
,
…
,
g
m
)
{\displaystyle {}g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{m})}
vorausgesetzt und es sei
σ
∈
G
{\displaystyle {}\sigma \in G}
eine
Pseudoreflektion .
Dann ist
∑
i
=
1
m
g
i
⋅
(
h
i
σ
)
=
(
∑
i
=
1
m
g
i
h
i
)
σ
=
0
σ
=
0
.
{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{m}g_{i}\cdot (h_{i}\sigma )={\left(\sum _{i=1}^{m}g_{i}h_{i}\right)}\sigma =0\sigma =0\,.}
Nach
Fakt
kann man
h
i
σ
=
h
i
+
L
σ
⋅
h
~
i
{\displaystyle {}h_{i}\sigma =h_{i}+L_{\sigma }\cdot {\widetilde {h}}_{i}\,}
schreiben, wobei
L
σ
{\displaystyle {}L_{\sigma }}
eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu
σ
{\displaystyle {}\sigma }
ist und
h
~
i
{\displaystyle {}{\widetilde {h}}_{i}}
einen kleineren Grad als
h
i
{\displaystyle {}h_{i}}
besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als
0
=
∑
i
=
1
m
g
i
(
h
i
+
L
σ
h
~
i
)
=
L
σ
∑
i
=
1
m
g
i
h
~
i
.
{\displaystyle {}0=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\left(h_{i}+L_{\sigma }{\widetilde {h}}_{i}\right)}=L_{\sigma }\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\widetilde {h}}_{i}\,.}
Daher ist die Summe rechts gleich
0
{\displaystyle {}0}
und nach Induktionsvoraussetzung ist
h
~
1
∈
I
G
{\displaystyle {}{\widetilde {h}}_{1}\in I_{G}}
, also auch
h
1
σ
−
h
1
=
h
~
1
L
σ
∈
I
G
{\displaystyle {}h_{1}\sigma -h_{1}={\widetilde {h}}_{1}L_{\sigma }\in I_{G}}
.
Es sei nun
τ
=
σ
1
⋯
σ
k
∈
G
{\displaystyle {}\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\in G}
ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist
h
1
τ
−
h
1
=
∑
i
=
1
k
(
h
1
σ
i
⋯
σ
k
−
h
1
σ
i
+
1
⋯
σ
k
)
=
∑
i
=
1
k
(
h
1
σ
i
−
h
1
)
(
σ
i
+
1
⋯
σ
k
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}h_{1}\tau -h_{1}&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}\cdots \sigma _{k}-h_{1}\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}-h_{1}\right)}{\left(\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}.\end{aligned}}}
Da
h
1
σ
i
−
h
1
{\displaystyle {}h_{1}\sigma _{i}-h_{1}}
zu
I
G
{\displaystyle {}I_{G}}
gehört und
I
G
{\displaystyle {}I_{G}}
unter
G
{\displaystyle {}G}
invariant ist, gehört auch
h
1
τ
−
h
1
{\displaystyle {}h_{1}\tau -h_{1}}
zu
I
G
{\displaystyle {}I_{G}}
. Mit dem
Reynolds-Operator
ρ
{\displaystyle {}\rho }
ist
ρ
(
h
1
)
−
h
1
=
(
1
ord
(
G
)
∑
τ
∈
G
h
1
τ
)
−
h
1
=
1
ord
(
G
)
∑
τ
∈
G
(
h
1
τ
−
h
1
)
.
{\displaystyle {}\rho (h_{1})-h_{1}={\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}h_{1}\tau \right)}-h_{1}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}{\left(h_{1}\tau -h_{1}\right)}\,.}
Dies gehört zu
I
G
{\displaystyle {}I_{G}}
und wegen
ρ
(
h
1
)
∈
I
G
{\displaystyle {}\rho (h_{1})\in I_{G}}
ist auch
h
1
∈
I
G
{\displaystyle {}h_{1}\in I_{G}}
.
◻
{\displaystyle \Box }