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Invariantentheorie/Reflektionsgruppe und Polynomring/Textabschnitt

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Ein linearer Automorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum heißt Pseudoreflektion (oder Pseudospiegelung), wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form

wobei eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.

Eine Pseudoreflektion besitzt also eine Hyperebene (einen -dimensionalen Untervektorraum), auf der sie fix ist (der Eigenraum zum Eigenwert ) und einen weiteren dazu linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert . Die Ordnung der Einheitswurzel bestimmt auch die Ordnung der Pseudoreflektion. Das Inverse einer Pseudoreflektion ist wieder eine Pseudoreflektion.


Eine endliche Untergruppe heißt Reflektionsgruppe (oder Spiegelungsgruppe), wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.

Man beachte, dass dies keine Eigenschaft der (abstrakten) Gruppe ist, sondern eine Eigenschaft der Untergruppe . In einer Reflektionsgruppe kann man jedes Element als ein Produkt mit Pseudoreflektionen schreiben.

Die Bedeutung von Reflektionsgruppen in der Invariantentheorie kommt im folgenden wichtigen Satz, dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, zum Ausdruck.


Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik null. Die endliche Gruppe operiere linear und treu auf dem -Vektorraum . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist eine Reflektionsgruppe.
  2. Der Invariantenring ist (isomorph zu einem) ein Polynomring (in Variablen).

Aus Dimensionsgründen ist klar, dass wenn der Invariantenring ein Polynomring ist, dieser Variablen besitzt. Der Beweis dieses Satzes benutzt verschiedene Lemmata und verwendet die Theorie der Hilbert-Reihen. Hierbei werden verschiedene elementare Hilfsmittel aus der Theorie der Potenzreihen verwendet.



Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine Pseudoreflektion. Es sei der Fixraum zu und eine Linearform , die auf verschwindet.

Dann ist für jedes Polynom ein Teiler von .

Für ist

Das Polynom verschwindet also auf der Nullstellenmenge von . Wir können zu einer Variablenmenge ergänzen und

schreiben. Das Polynom verschwindet auf und ist somit die Nullfunktion, also muss es auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.



Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und eine Reflektionsgruppe. Es sei das Ideal in , das durch die homogenen Invarianten von einem positiven Grad erzeugt wird. Es gelte

wobei die homogene Polynome und die invariante Polynome seien.

Dann ist oder .

Wir führen Induktion über den Grad von . Bei gehört natürlich zu . Für und ist . Es sei also und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei vorausgesetzt und es sei eine Pseudoreflektion. Dann ist

Nach Fakt kann man

schreiben, wobei eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu ist und einen kleineren Grad als besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als

Daher ist die Summe rechts gleich und nach Induktionsvoraussetzung ist , also auch .

Es sei nun ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist

Da zu gehört und unter invariant ist, gehört auch zu . Mit dem Reynolds-Operator ist

Dies gehört zu und wegen ist auch .