Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Jacobische Varietät/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ eine ${}{\mathbb {C} }$-Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Dann nennt man

${}\operatorname {Per} :={\left\{\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,$

das Periodengitter zu der gegebenen Basis.

Das Periodengitter ist in der Tat ein Gitter im ${}{\mathbb {C} }^{g}$.

Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$.

Dann ist das Periodengitter ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }^{g}$.

Beweis

Es sei

${}\operatorname {Per} (\gamma ):=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,$

der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg ${}\gamma$. Zu einer Basis ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ von ${}H_{1}(X,\mathbb {Z} )$ ist zu zeigen, dass die ${}2g$ Vektoren ${}\operatorname {Per} (\gamma _{1}),\ldots ,\operatorname {Per} (\gamma _{2g})$ über ${}\mathbb {R}$ linear unabhängig sind. Es seien ${}\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ mit

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\operatorname {Per} (\gamma _{i})=0\,.$

Dann gilt

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega _{j}=0\,$

für alle holomorphen Basisformen. Dann gilt auch

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}{\overline {\omega }}_{j}=0\,$

für alle konjugierten Differentialformen. Die beiden Unterräume ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ und ${}H^{0}(X,{\overline {\Omega }}_{X})$ erzeugen ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Somit gilt auch

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}c=0\,$

für jede Kohomologieklasse ${}c\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Nach Fakt unter Verwendung der Dimensionsergebnisse und von

${}H_{1}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}\,$

ist

${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {R} ),{\mathbb {C} }\right)}\,.$

Dann geht ${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\gamma _{i}$ unter jeder Auswertung auf ${}0$ und muss daher selbst ${}0$ sein. Somit sind alle ${}\alpha _{i}=0$.

$\Box$

Die Periode ${}\int _{\gamma }\omega$ hängt nur von der Homologieklasse des geschlossenen Weges und nicht von gewählten Aufpunkt ab. Das Periodengitter ist das Bild des Gruppenhomomorhismus

$\pi _{1}(X)\longrightarrow {\mathbb {C} }^{g},\,\gamma \longmapsto \left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right),$

die Homomorphieeigenschaft beruht einfach darauf, dass Wegintegrale mit der Verknüpfung von Wegen verträglich sind. Wenn ${}\tau _{1},\ldots ,\tau _{g}$ eine weitere Basis der holomorphen Formen ist, mit der Übergangsbasis ${}M$, die die ${}\tau _{j}$ als Linearkombination der ${}\omega _{i}$ ausdrückt, so wird unter der natürlichen bijektiven linearen Abbildung

$M\colon {\mathbb {C} }^{g}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{g}$

das Periodengitter zur ersten Basis in das Peridodengitter zur zweiten Basis überführt. Dies beruht direkt auf der Linearität der Wegintegrale in den Differentialformen,

${}M{\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega _{1}\\\vdots \\\int _{\gamma }\omega _{g}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{g}a_{1j}\int _{\gamma }\omega _{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{g}a_{gj}\int _{\gamma }\omega _{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\sum _{j=1}^{g}a_{1j}\omega _{j}\\\vdots \\\int _{\gamma }\sum _{j=1}^{g}a_{1j}\omega _{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\tau _{1}\\\vdots \\\int _{\gamma }\tau _{g}\end{pmatrix}}\,.$

Darauf beruht, dass die folgende Definition unabhängig von der gewählten Basis ist.

Definition

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Omega _{X/{\mathbb {C} }}$ eine ${}{\mathbb {C} }$-Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Dann nennt man

${}J(X):={\mathbb {C} }^{g}/\operatorname {Per} \,,$

wobei ${}\operatorname {Per}$ das Periodengitter bezeichnet, die Jacobische Varietät zu ${}X$.

Bemerkung  

Die Jacobische Varietät zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ vom Geschlecht ${}g$ lässt sich folgendermaßen unabhängig von einer Basis der holomorphen Differentialformen konstruieren. Es bezeichne ${}{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$ der Dualraum zum Vektorraum der globalen holomorphen Differentialformen, der wie dieser die Dimension ${}g$ besitzt. Wir betrachten die Abbildung

$\pi _{1}(X)\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*},\,\gamma \longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)}.$

Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus und das Bild ist ein Gitter ${}\Gamma$, die Restklassengruppe ${}{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\Gamma$ ist ein basisunabhängiges Modell für die Jacobische. Wenn ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$ eine Basis ist, so liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\pi _{1}(X)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{g}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei der vertikale Pfeil eine Linearform ${}\ell \colon \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Auswertungstupel ${}\left(\ell (\omega _{1}),\,\ldots ,\,\ell (\omega _{g})\right)$ abbildet. Dabei wird ${}\Gamma$ in das Periodengitter überführt. Die natürliche Abbildung wird in diesem Setting bei gegebenem Basispunkt ${}Q\in X$ zu

$X\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\Gamma ,\,P\longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{Q}^{P}\omega \right)},$

wobei ein verbindender Weg von ${}Q$ nach ${}P$ zu wählen ist.

Definition

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${}\operatorname {Div} \,(X)_{0}$ die Divisorengruppe auf ${}X$ vom Grad ${}0$. Es sei ${}J(X)={\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\operatorname {Per}$ die Jacobische Varietät zu ${}X$. Dann nennt man die Abbildung

$\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

die Abel-Jacobi-Abbildung. Dabei ist jeweils ein stetiger Weg von ${}Q_{i}$ nach ${}P_{i}$ zu wählen.

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung

$\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

von der Gruppe der Weildivisoren auf ${}X$ vom Grad ${}0$ in die Jacobische Varietät ${}J(X)$ ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Zunächst ist zu zeigen, dass das Ergebnis unabhängig von dem gewählten Weg von ${}Q_{i}$ nach ${}P_{i}$ ist. Wenn ${}\gamma ,\gamma '$ zwei solche Wege sind, so ist ${}\gamma ^{-1}\gamma '$ eine geschlossener Weg mit ${}P_{i}$ als Auf- und Endpunkt und es gilt

${}\int _{\gamma '}\omega =\int _{\gamma \gamma ^{-1}\gamma '}\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega \,$

für alle holomorphen Differentialformen ${}\omega$. Da die Abbildung ${}\omega \mapsto \int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega$ zum Periodengitter gehört, stimmen die Auswertungen zu ${}\gamma$ und zu ${}\gamma '$ in ${}J(X)$ überein.

Es ist ferner zu zeigen, dass die Abbildung unabhängig davon ist, welchen positiven Punkt des Weildivisors man mit welchem negativen Punkt zusammenordnet. Es seien dazu Punkte ${}Q_{1},Q_{2},P_{1},P_{2}$ gegeben und sei ${}\gamma _{1}$ ein stetiger Weg von ${}Q_{1}$ nach ${}P_{1}$, ${}\gamma _{2}$ ein stetiger Weg von ${}Q_{2}$ nach ${}P_{2}$ und ${}\delta$ ein stetiger Weg von ${}P_{1}$ nach ${}P_{2}$. Dann ist, da man mit beliebigen verbindenden Wegen arbeiten kann,

${}{\begin{aligned}\int _{Q_{1}}^{P_{2}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{1}}\omega &=\int _{\gamma _{1}\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega +\int _{\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega \\&=\int _{Q_{1}}^{P_{1}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{2}}\omega .\end{aligned}}$

Die Homomorphismuseigenschaft ist klar.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung

$\operatorname {DKG} {\left(X\right)}_{0}\longrightarrow J(X),\,[\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}]\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

von der Divisorenklassengruppe auf ${}X$ vom Grad ${}0$ in die Jacobische Varietät ${}J(X)$ ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Die Abbildung ist nach Fakt ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Aus Fakt folgt, dass er surjektiv ist.

$\Box$