Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 8/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine ${}\mathbb {Z}$ -Basis von ${}R$ . Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

{|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen ${}n$ -Tupeln aus ${}R$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene ${}\mathbb {Z}$ -Basen von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Diskriminante zur Körpererweiterung

{}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,

zur Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und zur Basis ${}2-5{\mathrm {i} }$ und ${}4+7{\mathrm {i} }$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Diskriminante zur Basis ${}1,x,x^{2}$ der kubischen Körpererweiterung

{}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5X^{2}+6X-3\right)}=:L\,.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine ${}K$ - Basis von ${}L$ . Zeige, dass dann

{}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich der Form ${}R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ mit einem normierten Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ vom Grad ${}d$ . Zeige, dass ${}x^{i}$ , ${}i=0,\ldots ,n-1$ , eine Ganzheitsbasis von ${}R$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde ganze Zahlen ${}a,b,c,d,e,f$ derart, dass die Determinante der Matrix

{\begin{pmatrix}6&10&15\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}

gleich ${}1$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein teilerfremdes Tupel von ganzen Zahlen. Zeige, dass es eine ${}n\times n$ - Matrix gibt, die das Tupel als eine Zeile enthält und deren Determinante gleich ${}\pm 1$ ist.

Führe Induktion über das Minimum der Beträge des Tupels.

Mit der vorstehenden Aufgabe kann man auch die folgende Aufgabe lösen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in einem Zahlbereich stets Ganzheitsbasen gibt, die die ${}1$ enthalten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(F)$ eine endliche Körpererweiterung mit einem normierten Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ und sei ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es ein ${}g\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass nach Nenneraufnahme an ${}g$ eine Ringisomorphie

{}R_{g}=\mathbb {Z} _{g}[X]/(F)\,

vorliegt.