Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 8

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$. Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

${|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}$

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen ${}n$-Tupeln aus ${}R$.

Aufgabe

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene ${}\mathbb {Z}$-Basen von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.

Aufgabe

Berechne die Diskriminante zur Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,$

zur Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und zur Basis ${}2-5{\mathrm {i} }$ und ${}4+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Bestimme die Diskriminante zur Basis ${}1,x,x^{2}$ der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5X^{2}+6X-3\right)}=:L\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass dann

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich der Form ${}R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ mit einem normierten Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ vom Grad ${}d$. Zeige, dass ${}x^{i}$, ${}i=0,\ldots ,n-1$, eine Ganzheitsbasis von ${}R$ ist.

Aufgabe *

Finde ganze Zahlen ${}a,b,c,d,e,f$ derart, dass die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}6&10&15\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

gleich ${}1$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein teilerfremdes Tupel von ganzen Zahlen. Zeige, dass es eine ${}n\times n$- Matrix gibt, die das Tupel als eine Zeile enthält und deren Determinante gleich ${}\pm 1$ ist.

Führe Induktion über das Minimum der Beträge des Tupels.

Mit der vorstehenden Aufgabe kann man auch die folgende Aufgabe lösen.

Aufgabe

Zeige, dass es in einem Zahlbereich stets Ganzheitsbasen gibt, die die ${}1$ enthalten.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(F)$ eine endliche Körpererweiterung mit einem normierten Polynom ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ und sei ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es ein ${}g\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass nach Nenneraufnahme an ${}g$ eine Ringisomorphie

${}R_{g}=\mathbb {Z} _{g}[X]/(F)\,$

vorliegt.

Aufgabe

Man gebe Beispiele für Zahlbereiche ${}R$, wo die Spur ${}R\rightarrow \mathbb {Z}$ surjektiv bzw. nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.

Aufgabe *

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit ${}6$ Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{n}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ kein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ sein kann.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein endlicher reduzierter kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ ein Produkt von endlichen Körpern ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}R$ eine endlichdimensionale ${}\mathbb {Z} /(p)$- Algebra der Dimension ${}n$. Zeige, dass ${}R$ höchstens ${}n$ Primideale besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$. Zeige, dass ${}N(f)\in (f)$ ist, dass also die Norm zum von ${}f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.