Kurs:Analysis/Teil I/39/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	5	3	4	5	7	3	3	5	4	5	4	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Bild einer Abbildung

   $F\colon L\longrightarrow M.$

2. Ein Körper.
3. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

5. Die ${}n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

6. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

1. Das Bild von ${}F$ ist die Menge

   ${\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in L{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}.$

2. Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

   und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
      3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
3. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

   $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

   in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

   ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

   gegen ${}0$ konvergiert.

4. Die Funktion ${}f$ heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle ${}x,x'\in T$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.
5. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal differenzierbar ist, wenn ${}f$ ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung ${}f^{(n-1)}$ differenzierbar ist.
6. Eine Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   heißt eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$.
2. Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.
3. Die trigonometrische Darstellung der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in \mathbb {N} _{+}$).

Lösung

1. Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$.
2. Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert. Dann ist ${}f$ stetig.
3. Die ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung

   $\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$

Aufgabe (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie ${}5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren ${}:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim). Die U-Bahnen nach Konsau fahren also ${}:\!09,:\!19,:\!29$ etc. ab.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ derart gibt, dass man ${}\varphi$ als Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T$

auffassen kann (${}\varphi$ und ${}\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass ${}\varphi '$ bijektiv ist.

Lösung

Es sei

${}T={\left\{y\in M\mid {\text{ es gibt }}x\in L{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.$

Da ${}T$ sämtliche Elemente aus ${}M$ enthält, die überhaupt unter ${}\varphi$ getroffen werden, kann man ${}\varphi$ als eine Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T,\,x\longmapsto \varphi (x),$

auffassen. Diese Abbildung ist surjektiv, da ja jedes Element aus ${}T$ nach Definition getroffen wird. Die Injektivität überträgt sich direkt von ${}\varphi$ auf ${}\varphi '$, da die Gleichheit von Elementen in einer Teilmenge mit der Gleichheit in der Menge übereinstimmt. Daher ist ${}\varphi '$ bijektiv.

Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}8$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.

$(0,0),\,(5,0),\,(0,5),\,(5,5),\,(2,8),\,(2,0),\,(0,2),\,(5,2),\,(0,7),\,(5,7),\,(4,8),\,(4,0),\,(0,4),\,(5,4),\,(1,8),\,(1,0).$

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Lösung

1. Lucy benötigt ${}25$ Sekunden für den ${}500$ Meter langen Zug.
2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

   ${}{\frac {180000}{3600}}={\frac {1800}{36}}=50\,.$

   Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich ${}30$ Meter pro Sekunde.

3. In den ${}25$ Sekunden legt der Zug

   ${}25\cdot 50=1250\,$

   Meter zurück.

4. Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt

   ${}1250-500=750\,$

   Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

   ${}25\cdot 30=750\,$

   Meter.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.

Lösung Approximation/Erläuterung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Lösung

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein ${}D>0$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Sei ${}x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und ${}y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen ${}C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Lösung

Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für ${}\mathbb {R}$ gelten. Es ist

${}1\cdot (a+b{\mathrm {i} })=a+b{\mathrm {i} }\,,$

somit ist die ${}1$ das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir

${}{\begin{aligned}{\left((a+b{\mathrm {i} })(c+d{\mathrm {i} })\right)}(e+f{\mathrm {i} })&={\left(ac-bd+(bc+ad){\mathrm {i} }\right)}(e+f{\mathrm {i} })\\&=(ac-bd)e-(bc+ad)f+{\left((ac-bd)f+(bc+ad)e\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-bde-bcf-adf+{\left(acf-bdf+bce+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Ebenso ist

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+d{\mathrm {i} })(e+f{\mathrm {i} })\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(ce-df+(cf+de){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(ce-df)-b(cf+de)+{\left(b(ce-df)+a(cf+de)\right)}{\mathrm {i} }\\&=ace-adf-bcf+-bde+{\left(bce-bdf+acf+ade\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Wenn

${}a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

ist, so ist mindestens eine der Zahlen ${}a$ oder ${}b$ von ${}0$ verschieden und damit ist ${}a^{2}+b^{2}>0$. Somit ist ${}{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl und es gilt

${}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)}=1\,,$

also besitzt jedes Element ${}\neq 0$ ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }+e+f{\mathrm {i} }\right)}&=(a+b{\mathrm {i} }){\left((c+e)+(d+f){\mathrm {i} }\right)}\\&=a(c+e)-b(d+f)+(a(d+f)+b(c+e)){\mathrm {i} }\\&=ac+ae-bd-bf+(ad+af+bc+be){\mathrm {i} }\\&=ac-bd+(ad+bc){\mathrm {i} }+ae-bf+(af+be){\mathrm {i} }\\&=(a+b{\mathrm {i} }){\left(c+d{\mathrm {i} }\right)}+(a+b{\mathrm {i} }){\left(e+f{\mathrm {i} }\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen ${}x$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(x)$ konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Es sei (1) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R}$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$

ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

sodass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in \mathbb {R}$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als ${}\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}x_{n}\in \mathbb {R}$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}\,.$

Zeige, dass ${}f$ zwischen ${}1$ und ${}2$ eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{4}}$.

Lösung

Es ist

${}f(1)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}>0\,$

und

${}f(2)=1-2+{\frac {16}{24}}=-1+{\frac {2}{3}}<0\,,$

deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen ${}1$ und ${}2$. Es ist

${}{\begin{aligned}f\left({\frac {3}{2}}\right)&=1-{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}}{24}}\\&=1-{\frac {9}{8}}+{\frac {27}{128}}\\&={\frac {11}{128}}\\&>0.\end{aligned}}$

Deshalb gibt es eine Nullstelle in ${}[{\frac {3}{2}},2]$. Es ist

${}{\begin{aligned}f\left({\frac {7}{4}}\right)&=1-{\frac {\left({\frac {7}{4}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left({\frac {7}{4}}\right)^{4}}{24}}\\&=1-{\frac {49}{32}}+{\frac {2401}{6144}}\\&={\frac {6144-9408+2401}{1536}}\\&<0.\end{aligned}}$

Eine Nullstelle liegt also in ${}[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y=3x-2\,$

gegebenen Geraden.

Lösung

Der Einheitskreis ist durch

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Darin setzen wir

${}y=3x-2\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+(3x-2)^{2}=10x^{2}-12x+4=1\,.$

Also ist

${}x^{2}-{\frac {6}{5}}x+{\frac {3}{10}}=0\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{5}}\right)}^{2}-4\cdot {\frac {3}{10}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\frac {36}{25}}-{\frac {6}{5}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\frac {1}{5}}{\sqrt {6}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}y_{1,2}&=3\cdot {\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}-2\\&={\frac {-2\pm 3{\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also ${}\left({\frac {6+{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2+3{\sqrt {6}}}{10}}\right)$ und ${}\left({\frac {6-{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2-3{\sqrt {6}}}{10}}\right)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.

Lösung

Wir betrachten zuerst den Fall ${}f=1$ und behaupten

${}{\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)=-{\frac {g'(a)}{g^{2}(a)}}\,.$

Für einen Punkt ${}a$ ist

${}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$

Da ${}g$ nach Korollar 18.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) stetig in ${}a$ ist, konvergiert für ${}x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen ${}-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von ${}g$ in ${}a$ konvergiert der rechte Faktor gegen ${}g'(a)$. Somit ist mit der Produktregel

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)&={\left(f\cdot {\frac {1}{g}}\right)}'(a)\\&=f(a){\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)+f'(a){\frac {1}{g(a)}}\\&=f(a){\left(-{\frac {g'(a)}{g(a)^{2}}}\right)}+{\frac {f'(a)g(a)}{g(a)^{2}}}\\&=-{\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^{2}}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die positiven reellen Zahlen ${}\mathbb {R} _{+}$ mit den Verknüpfungen

${}x\oplus y:=x\cdot y\,$

als neuer Addition und

${}x\otimes y:=e^{(\ln x)(\ln y)}\,$

als neuer Multiplikation. Ist ${}\mathbb {R} _{+}$ mit diesen Verknüpfungen (und mit welchen neutralen Elementen) ein Körper?

Lösung

Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${}e$, also die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,z\longmapsto e^{z}.$

Diese Abbildung ist bijektiv, da wir den Bildbereich entsprechend eingeschränkt haben, mit dem natürlichen Logarithmus als Umkehrabbildung. Unter dieser Abbildung gilt

${}{\begin{aligned}\varphi (z+w)&=e^{w+z}\\&=e^{w}\cdot e^{z}\\&=\varphi (w)\oplus \varphi (z),\end{aligned}}$

d.h. die Addition ${}+$ wird auf die neue Addition ${}\oplus$ abgebildet, und

${}{\begin{aligned}\varphi (z\cdot w)&=e^{z\cdot w}\\&=e^{(\ln e^{z})(\ln e^{w})}\\&=e^{z}\otimes e^{w}\\&=\varphi (z)\otimes \varphi (w),\end{aligned}}$

d.h. die Multiplikation ${}\cdot$ wird auf die neue Addition ${}\otimes$ abgebildet. Unter dieser Abbildung bleiben alle Gesetzmäßigkeiten erhalten, deshalb ist ${}\mathbb {R} _{+}$ mit den neuen Verknüpfungen ebenfalls ein Körper. Die neutralen Elemente sind die Bilder der neutralen Elemente, d.h. die ${}1$ ist neutrales Element der neuen Addition und ${}e$ ist neutrales Element der neuen Multiplikation.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte ${}f'(a)=0$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)>0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
2. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)<0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Lösung

Wir beweisen die erste Aussage, die zweite kann man darauf zurückführen, indem man das Negative der Funktion betrachtet. Wegen der zweifachen stetigen Differenzierbarkeit und

${}f^{\prime \prime }(a)>0\,$

gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass die zweite Ableitung auf dem Intervall ${}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ positiv ist. Nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist dann ${}f'$ auf diesem Intervall streng wachsend. Wir behaupten, dass ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, und zwar dass

${}f(x)>f(a)\,$

für alle ${}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$, ${}x\neq a$, gilt. Nehmen wir an, dass dies nicht stimmt, und sei ${}x<a$ ein Element mit

${}f(x)\leq f(a)\,$

(das Argument bei ${}x>a$ verläuft genauso). Dann gibt es mit dem Mittelwertsatz ein ${}c$ mit

${}x<c<a\,$

und mit

${}f'(c)={\frac {f(a)-f(x)}{a-x}}\geq 0\,.$

Doch dies widerspricht wegen ${}f'(a)=0$ der strengen Monotonie der Ableitung.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ die Funktion, die eine reelle Zahl ${}x$ auf ihre zweite Nachkommastelle im Zehnersystem abbildet.

1. Berechne ${}\int _{0}^{1}f(x)dx$.
2. Erfüllt ${}f$ den Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Lösung

1. Die Funktion ${}f$ ist auf Intervallen der Form ${}[{\frac {a\cdot 10+b}{100}},{\frac {a\cdot 10+(b+1)}{100}}[$ mit ${}a,b\in \{0,1,2,\ldots ,8,9\}$ konstant gleich ${}b$, es handelt sich insbesondere um eine Treppenfunktion. Daher ist das Integral gleich der Summe

   ${}{\begin{aligned}\sum _{0\leq a,b\leq 9}{\frac {1}{100}}b&=10\sum _{0\leq b\leq 9}{\frac {1}{100}}b\\&={\frac {1}{10}}\sum _{0\leq b\leq 9}b\\&={\frac {1}{10}}\cdot 45\\&={\frac {9}{2}}.\end{aligned}}$

2. Der Mittelwertsatz ist nicht anwendbar, da ${}f$ nicht stetig ist, und er gilt auch nicht, da der Mittelwert auf dem Einheitsintervall gleich ${}4,5$ ist, aber nur ganzzahlige Werte angenommen werden.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen zur Differentialgleichung

${}y'={\frac {\sqrt {1-y^{2}}}{y}}\,$

für ${}y\in ]0,1[$.

Lösung

Wir müssen für die invertierte Funktion, also für

${\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}$

eine Stammfunktion finden. Eine solche ist

$-{\sqrt {1-y^{2}}}.$

Über den Ansatz

${}z=-{\sqrt {1-y^{2}}}\,$

erhalten wir

${}z^{2}=1-y^{2}\,$

und damit

${}y={\sqrt {1-z^{2}}}\,.$

Daher sind

${}y(t)={\sqrt {1-(t+c)^{2}}}\,$

Lösungen der Differentialgleichung.