Kurs:Analysis/Teil II/23/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	8	5	4	4	2	0	2	0	6	5	3	4	8	61

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Grenzwert einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

   für ${}x\rightarrow +\infty$.

2. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum ${}M$.
3. Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.
4. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

5. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
6. Das Taylor-Polynom im Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ vom Grad ${}\leq k$ einer ${}k$-fach differenzierbaren Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in ${}\mathbb {R}$.
2. Die Taylor-Formel für eine ${}k$-fach stetig differenzierbare Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.
3. Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge ${}Z\subseteq T$ genau dann offen in ${}T$ ist, wenn es eine in ${}M$ offene Menge ${}U$ mit ${}Z=T\cap U$ gibt.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen von ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}P$ ein Polynom vom Grad ${}d$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist ${}d\leq 1$.
2. Die Funktion ${}P\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ist Lipschitz-stetig.
3. Die Funktion ${}P\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ist gleichmäßig stetig.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}h\colon I\rightarrow V$ eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass bei ${}h'(t)\neq 0$ die Gleichheit

${}\Vert {h'(t)}\Vert '={\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}\Vert {h'(t)}\Vert \,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-4x+1,$

und zum Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{3}+t-5.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung von

${}f(x,y)=x^{3}+x^{2}y-y^{5}\,$

im Punkt ${}(4,-1)$ in Richtung ${}(-3,2)$ über das totale Differential von ${}f$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Eine symmetrische Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}\pi &2\\2&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Berechne ${}\left\langle {\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\e\end{pmatrix}}\right\rangle$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}.$

1. Man schreibe ${}(x+v)^{2}(y+w)^{3}$ als

   ${}(x+v)^{2}(y+w)^{3}=x^{2}y^{3}+av+bw+cv^{2}+dvw+ew^{2}\,$

   mit geeigneten Termen ${}a,b,c,d,e$, wobei ${}a$ und ${}b$ nicht von ${}v$ und ${}w$ abhängen dürfen.

2. Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass ${}x^{2}y^{3}$ in einem beliebigen Punkt ${}(x,y)$ total differenzierbar ist.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(s,t)\longmapsto (s,-s-t^{2},t^{3})=(x,y,z).$

a) Erstelle die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$.

b) Bestimme die regulären Punkte ${}(s,t)$ von ${}\varphi$.

c) Zeige, dass ${}\varphi (s,t)$ die Bedingung

${}(x+y)^{3}+z^{2}=0\,$

erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=2$ und ${}y(0)=-7$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen.