- Cauchy-Produkt von Reihen
Zu
Reihen
und
komplexer Zahlen
heißt die Reihe
-
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Es seien
-
zwei
absolut konvergente
Reihen
komplexer Zahlen.
Dann ist auch das
Cauchy-Produkt
absolut konvergent und für die Summe gilt
-

Wir müssen für die
Partialsummen
-
zeigen, dass
gegen den Limes der Folge
konvergiert. Es ist

Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und
und
nach
Aufgabe 9.15
Nullfolgen
sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge
nach
Aufgabe *****
gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen.
Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem
Majorantenkriterium
aus der Abschätzung
.

- Potenzreihen
Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl
,
, ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man
variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in
darstellt.
Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
ist ein Ausdruck der Form
-
Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe
, die für
-

konvergiert und dort die Funktion
darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.
- Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion
Für jedes
heißt die
Reihe
-
die Exponentialreihe in
.
Dies ist also die Reihe
-
Für jedes
ist die
Exponentialreihe
-
absolut konvergent.

Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.
Der Graph der reellen Exponentialfunktion
Die
Abbildung
-
heißt
(komplexe)
Exponentialfunktion.
Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die
Exponentialfunktion
zur Basis
-

ist, und dass
mit der früher eingeführten eulerschen Zahl
übereinstimmt (Korollar 16.11 und Korollar 20.14).
Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion.

- Die trigonometrischen Reihen
Für
heißt
-
die Kosinusreihe und
-
die Sinusreihe zu
.
Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes
absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
-
heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.
Die Funktionen
-
und
-
besitzen für
folgende Eigenschaften.
- Für
ist
-

Speziell gilt die eulersche Formel
-

- Es ist
und
.
- Es ist[3]
und
.
- Es ist
-

und
-

- Es gelten die Additionstheoreme
-

und
-

- Es gilt
-

(1). Aufgrund von
Satz 15.7
gilt
-

so dass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach
Aufgabe 15.7[4]
und
Lemma 9.4 (1)
gilt

(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Nach (4) ist

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf
und aufgrund von (2) ergibt sich
-


Für reelle
sind
und
wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles
das Paar
ein Punkt auf dem Einheitskreis
ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als
schreiben lässt, wobei man
als Winkel
(im Bogenmaß)
interpretieren kann. Dabei tritt die Periode
auf, wobei wir die Kreiszahl
eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.
- Fußnoten
- ↑ Unter der reellen Exponentialfunktion verstehen wir hier die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reellen Zahlen. Wir werden bald sehen, dass sie mit der Exponentialfunktion zur Basis
übereinstimmt.
- ↑ Eine Teilmenge
heißt abgeschlossen, wenn jede Folge in
, die in
konvergiert, schon in
konvergiert. Eine reelle Folge, die aufgefasst als komplexe Folge konvergiert, konvergiert offenbar in
.
- ↑ Die Kosinusfunktion ist also eine
gerade Funktion
und die Sinusfunktion ist eine
ungerade Funktion.
- ↑ Dies ist ein Spezialfall der Aussage, dass man absolut konvergente Reihen beliebig sortieren darf, was wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen werden.