Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige durch Induktion nach ${}n$ unter Verwendung der partiellen Integration

${}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}dx={\frac {m!n!}{(m+n+1)!}}\,.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Polynome ${}f_{n}={\left(x^{2}-1\right)}^{n}$.

1. Zeige

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,.$

2. Man folgere

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,.$

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{n}\cdot \ln x.$

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und es seien ${}b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$(bt+c)\cdot f(t)$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{3}\cdot \cos x-x^{2}\cdot \sin x.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$(\ln(1+\sin x))\cdot \sin x.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\arcsin x.$

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{1/n},$

unter Verwendung der Stammfunktion von ${}x^{n}$ und Satz 25.5.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\tan x.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {x^{3}}{\sqrt[{5}]{x^{4}+2}}}.$

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{\sqrt {\pi }}x\sin x^{2}\,dx.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{\sqrt {x}}.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral

$\int _{c}^{d}f^{-1}(y)dy$

die Substitution ${}y=f(x)$ durchführt und anschließend partiell integriert.

Aufgabe *

Begründe den Zusammenhang

${}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\,$

für ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx.$

Aufgabe *

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

${\sqrt {3x^{2}+5x-4}}.$

Aufgabe

Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\sin(\ln x).$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{x}\cdot {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}G$. Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

${\left(at^{2}+bt+c\right)}\cdot f(t)$

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei

$\varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine streng wachsende, bijektive Funktion und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Treppenfunktion.

a) Zeige, dass ${}f\circ \varphi$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

b) Es sei nun ${}\varphi$ zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\varphi '(s)\,ds\,$

direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die Funktion

${}f(x)=\int _{0}^{x}\sin(t)g(x-t)dt\,$

für ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ eine zweite Ableitung besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:

${}f^{\prime \prime }+f=g\,.$

(Mit einer geeigneten Substitution kann man erreichen, dass die Variable ${}x$ nicht mehr als Argument der Funktion ${}g$ auftritt. Danach geht es darum, geeignete trigonometrische Formeln anzuwenden.)

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)>0$ für alle ${}x>0$. Für welche Punkte ${}t\in [0,1]$ besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?