Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 24

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?


Aufgabe

Es seien

zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

Beweise, dass es ein mit gibt.


Aufgabe

Es seien

zwei stetige Funktionen und es sei für alle . Zeige, dass es dann ein gibt mit


Aufgabe *

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).


Aufgabe

Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.


Aufgabe

Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.


Aufgabe

Es sei , , eine stetige Funktion und eine Stammfunktion zu . Zeige, dass eine Stammfunktion zu ist.


Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion zu

die an der Stelle den Wert besitzt.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral , wobei die Funktion durch

gegeben ist.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe

Ein Körper werde zum Zeitpunkt losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit . Nach welcher Zeit hat der Körper Meter zurückgelegt?


Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen und .


Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu und eingeschlossen wird.


Aufgabe

Es sei die minimale positive Zahl mit . Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von eingeschlossen wird.


Aufgabe *

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .


Aufgabe

Bestimme den Durchschnittswert des Sinus für .


Aufgabe *

Wir betrachten die Exponentialfunktion auf einem Intervall der Form .

  1. Bestimme den Mittelwert (Durchschnittswert) der Exponentialfunktion auf .
  2. Bestimme den Punkt , in dem die Exponentialfunktion den Durchschnittswert annimmt.
  3. Was fällt auf?


Aufgabe *

Bestimme, für welche die Funktion

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.


Aufgabe

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch

beschrieben. Dabei ist die Zeit in Stunden und ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?


Aufgabe *

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Aufgabe *

Zeige, dass für jedes die Abschätzung

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion auf dem Intervall .


Aufgabe

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Funktion und es sei eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.


Aufgabe

Es sei eine stetige Funktion. Betrachte die durch

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Reihe mit für alle und sei eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

absolut konvergent ist.


Aufgabe

Man zeige, dass die Gleichung

eine einzige Lösung besitzt.


Aufgabe

Betrachte die Funktionenfolge

Berechne die Grenzfunktion dieser Funktionenfolge, deren Integral (wenn es existiert), die Integrale und deren Grenzwert für .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von stetigen Funktionen

die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert, wo aber

für alle ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen und mit

eingeschlossen wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

Zeige, unter Bezug auf die Funktion , dass eine Stammfunktion besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die durch

gegebene Folge. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)



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