Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie $30$ km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch $30$ km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?

Aufgabe

Es seien

$f,g:[a,b]⟶ℝ$

zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}g(x)dx$

Beweise, dass es ein  $c\in [a,b]$  mit  $f(c)=g(c)$  gibt.

Aufgabe

Es seien

$f,g:[a,b]⟶ℝ$

zwei stetige Funktionen und es sei  $g(t)\ne 0$  für alle  $t\in [a,b]$.  Zeige, dass es dann ein  $s\in [a,b]$  mit

${\int }_a^{b}f(t)g(t)dt=f(s){\int }_a^{b}g(t)dt$

gibt.

Aufgabe *

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g:ℝ⟶ℝ$

und ein kompaktes Intervall  $[a,b]\subset ℝ$  aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Aufgabe

Es sei $f:ℝ⟶ℝ$, $x⟼f(x)$, eine stetige Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$. Zeige, dass $F(x-a)$ eine Stammfunktion zu $f(x-a)$ ist.

Aufgabe

Es sei $f:ℝ⟶ℝ$, $x⟼f(x)$, eine stetige Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$. Zeige, dass $-F(-x)$ eine Stammfunktion zu $f(-x)$ ist.

Aufgabe

Es sei $f:ℝ⟶ℝ$, $x⟼f(x)$, eine stetige Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$. Zeige, dass $F(x)+cx$ eine Stammfunktion zu $f(x)+c$ ist.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion zu

$f(x)=4x^2-3x+2,$

die an der Stelle $3$ den Wert $5$ besitzt.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral ${\int }_0^{8}f(t)dt$, wobei die Funktion $f$ durch

$f(t)=\{\begin{array}{c}t+1,\text{ falls }0\le t\le 2,\\ t^2-6t+11,\text{ falls }2<t\le 5,\\ 6,\text{ falls }5<t\le 6,\\ -2t+18,\text{ falls }6<t\le 8,\end{array}$

gegeben ist.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_{-1}^{4}3x^2-5x+6dx.$

Aufgabe

Ein Körper werde zum Zeitpunkt $0$ losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit $v(t)$ und die zurückgelegte Strecke $s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Nach welcher Zeit hat der Körper $100$ Meter zurückgelegt?

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2x+3}-e^{-x},$

über $[1,4]$.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_2^5\frac{x^2+3x-6}{x-1}dx.$

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen $0$ und $\pi$.

Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu  $f(x)=x^2$  und  $g(x)=\sqrt{x}$  eingeschlossen wird.

Aufgabe

Es sei $a$ die minimale positive Zahl mit  $\sin a=\cos a$.  Berechne den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch den Graphen des Kosinus und den Graphen des Sinus oberhalb von $[0,a]$ eingeschlossen wird.

Aufgabe *

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel $\sqrt{x}$ für  $x\in [1,4]$.  Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von $1$ und $4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von $1$ und der Wurzel von $4$.

Aufgabe

Bestimme den Durchschnittswert des Sinus $\sin x$ für  $x\in [0,\pi ]$. 

Aufgabe *

Wir betrachten die Exponentialfunktion $e^x$ auf einem Intervall der Form $[a,a+1]$.

1. Bestimme den Mittelwert (Durchschnittswert) der Exponentialfunktion auf $[a,a+1]$.
2. Bestimme den Punkt  $c\in [a,a+1]$,  in dem die Exponentialfunktion den Durchschnittswert annimmt.
3. Was fällt auf?

Aufgabe *

Bestimme, für welche  $a\in ℝ$  die Funktion

$a⟼{\int }_{-1}^{2}a{t}^2-a^{2}tdt$

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.

Aufgabe

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch

$[8,18]⟶ℝ,x⟼f(x)=-x^2+25x-100,$

beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden und  $y=f(x)$  ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine eineinhalbstündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?

Aufgabe *

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall $[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

$f:[6,22]⟶ℝ,t⟼f(t)=-t^3+27t^2-120t,$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Aufgabe *

Zeige, dass für jedes  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  die Abschätzung

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\le \ln 2$

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion  $f(x)=\frac{1}{x}$  auf dem Intervall $[1,2]$.

Aufgabe

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion

$F(x)={\int }_0^x\sqrt{t^5-t^3+2t}dt.$

Aufgabe

Es sei $g:ℝ\to ℝ$ eine differenzierbare Funktion und es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

$h(x)={\int }_0^{g(x)}f(t)dt$

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.

Aufgabe

Es sei $f:[0,1]\to ℝ$ eine stetige Funktion. Betrachte die durch

$a_n:={\int }_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(t)dt$

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Es sei $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ eine konvergente Reihe mit  $a_n\in [0,1]$  für alle  $n\in \mathbb{N}$  und sei $f:[0,1]\to ℝ$ eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{a_n}f(x)dx$

absolut konvergent ist.

Aufgabe

Man zeige, dass die Gleichung

${\int }_0^x{e}^{t^2}dt=1$

eine einzige Lösung  $x\in [0,1]$  besitzt.

Aufgabe

Betrachte die Funktionenfolge

$f_n:[0,1]⟶[0,1],x⟼x^n.$

Berechne die Grenzfunktion dieser Funktionenfolge, deren Integral (wenn es existiert), die Integrale ${\int }_0^1{f}_n(t)dt$ und deren Grenzwert für $n\to \mathrm{\infty }$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von stetigen Funktionen

$f_n:[0,1]⟶{ℝ}_{\ge 0},$

die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert, wo aber

${\int }_0^1{f}_n(t)dt=1$

für alle  $n\in \mathbb{N}$  ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_1^7\frac{x^3-2x^2-x+5}{x+1}dx.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ mit

$f(x)=x^2\text{ und }g(x)=-2x^2+3x+4$

eingeschlossen wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t),$

mit

$f(t)=\{\begin{array}{c}0\text{ für }t=0,\\ \sin \frac{1}{t}\text{ für }t\ne 0.\end{array}$

Zeige, unter Bezug auf die Funktion $g(x)=x^2\cos \frac{1}{x}$, dass $f$ eine Stammfunktion besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die durch

$a_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\sum _{i=1}^n\sqrt{i}$

gegebene Folge. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)