Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 4/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ihre Fußballmannschaft hat das vorletzte Spiel mit ${}5:1$ und das letzte Spiel mit ${}10:5$ gewonnen. Welchen Sieg finden Sie überzeugender?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen ${}{\frac {3}{8}}$ und ${}{\frac {7}{8}}$ liegen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ mit der durch ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls ${}ad\geq cb$ in ${}\mathbb {Z}$ gilt, definierten Beziehung ein angeordneter Körper ist (dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf ${}\mathbb {Z}$ verwendet werden).

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

$p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe Aufgabe 4.7 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\in K$. Zeige, dass ${}x>0$ genau dann gilt, wenn ${}-x<0$ ist.

(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes ${}x\in K$ die Beziehung ${}x^{2}=xx\geq 0$ gilt.

Aufgabe Aufgabe 4.9 ändern

Zeige, dass in einem angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.

1. ${}1\geq 0$.
2. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}-a\leq 0$ ist.
3. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}a-b\geq 0$ ist.
4. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}-a\leq -b$ ist.
5. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$ folgt ${}a+c\geq b+d$.
6. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
7. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
8. Aus ${}a\geq b\geq 0$ und ${}c\geq d\geq 0$ folgt ${}ac\geq bd$.
9. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\leq 0$.
10. Aus ${}a\leq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\geq 0$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>y$. Zeige, dass dann ${}-x<-y$ ist.

Aufgabe * Aufgabe 4.11 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>0$. Zeige, dass auch das inverse Element ${}x^{-1}$ positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe Aufgabe 4.12 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\geq 1$. Zeige, dass für das inverse Element ${}x^{-1}\leq 1$ gilt.

Aufgabe Aufgabe 4.13 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>y>0$. Zeige, dass für die inversen Elemente ${}x^{-1}<y^{-1}$ gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Aufgabe Aufgabe 4.15 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}x,y$ positive Elemente. Zeige, dass ${}x\geq y$ zu ${}{\frac {x}{y}}\geq 1$ äquivalent ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a>b>0$ Elemente aus ${}K$. Zeige

${}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K$, ${}b>1$. Zeige, dass es dann Elemente ${}c,d>1$ mit ${}b=cd$ gibt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit ${}\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen ${}\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen

${}0\succeq x\,$

für jede rationale Zahl ${}x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die ${}0$ als heilig verehren.

Zeige, dass ${}\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in \mathbb {Q}$ gilt entweder ${}a\succ b$ oder ${}a=b$ oder ${}b\succ a$.
2. Aus ${}a\succeq b$ und ${}b\succeq c$ folgt ${}a\succeq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$).
3. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}a+b\succeq 0$.
4. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}ab\succeq 0$.

Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt ${}(\mathbb {Q} ,\succeq )$ nicht?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der in Aufgabe 3.28 konstruierte Körper ${}K$ nicht angeordnet werden kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme ${}n=3$ die Beziehung

${}2^{n}\geq n^{2}\,$

gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass für ${}n\geq 10$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{4}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für ${}n\geq 4$ die Beziehung

${}2^{n}\leq n!\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige die Abschätzung

${}{\binom {d+n}{n}}\geq {\left({\frac {d}{n}}\right)}^{n}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige die Abschätzung

${}2n^{n}\leq (n+1)^{n}\,$

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige die Abschätzung

${}n!\leq {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{n}\,$

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe Aufgabe 4.26 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}x<y$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${}{\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung

${}x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$

gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}a\leq b$ und seien Zahlen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ und nichtnegative Zahlen ${}t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\in K_{\geq 0}$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$

gegeben. Zeige

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in [a,b]\,$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)

${}\vert {4x-3}\vert <\vert {2x-3}\vert \,.$

b)

${}\vert {\frac {x-2}{3x-1}}\vert \leq 1\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in ${}K$ die (positiven) Elemente ${}8^{1/2}$ und ${}25^{1/3}$ existieren. Welches ist größer?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

$K\times K\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe Aufgabe 4.31 ändern

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

in einem angeordneten Körper (dabei seien ${}x,y$ beliebige Elemente in ${}K$).

1. Es ist ${}\vert {x}\vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.
3. Es ist ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.
4. Es ist ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
5. Es ist ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
6. Für ${}x\neq 0$ ist ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$.
7. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Unter welchen Bedingungen gilt für reelle Zahlen ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ die Gleichheit

${}\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}}\vert =\sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \,?$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Im Wald lebt ein Riese, der ${}8$ Meter und ${}37$ cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von ${}3$ cm haben und mit dem Kopf insgesamt ${}4$ cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind ${}1,23$ Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ein kleines Sandkorn hat ein Gewicht von ${}{\frac {13}{2757}}$ Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die ${}5906$ und eine halbe Tonne wiegt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

${[n,n+1[}={\left\{x\in K\mid x\geq n{\text{ und }}x<n+1\right\}},\,n\in \mathbb {Z} ,$

eine disjunkte Überdeckung von ${}K$ bilden.

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion wird später wesentlich erweitert, siehe insbesondere Lemma 14.8 und Lemma 14.11. Eine wesentliche Verschärfung von Lemma 4.17 ist die Aussage, dass sich eine jede Exponentialfunktion im Wachstumsverhalten gegen jede Potenzfunktion durchsetzt. D.h. dass zu jedem ${}b>1$ in einem archimedisch angeordneten Körper und jedem ${}k\in \mathbb {N}$ für ${}n$ hinreichend groß die Abschätzung ${}b^{n}\geq n^{k}$ gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion gegenüber Potenzfunktionen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 4.37 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, bei dem eine Teilmenge ${}P\subseteq K$ ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

1. Für ${}x\in K$ ist entweder ${}x\in P$ oder ${}-x\in P$ oder ${}x=0$.
2. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x+y\in P$.
3. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x\cdot y\in P$.

Zeige, dass durch die Festlegung

$x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x-y\in P$

ein angeordneter Körper entsteht.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 3.6 konstruierte Zuordnung ${}\mathbb {Z} \rightarrow K$.

a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung ${}\mathbb {Q} \rightarrow K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in ${}\mathbb {Q}$ mit den Verknüpfungen in ${}K$ übereinstimmen und die Ordnung auf ${}\mathbb {Q}$ mit der Ordnung auf ${}K$ übereinstimmt.

Aufgabe (8 (2+4+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Menge

$K={\left\{p+q{\sqrt {5}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}},$

wobei ${}{\sqrt {5}}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ${}{\sqrt {5}}^{2}=5$ ist und dass ${}K$ zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass ${}K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass ${}{\sqrt {5}}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von ${}K$ als Punkte im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ auf. Skizziere eine Trennlinie im ${}\mathbb {Q} ^{2}$, die die positiven von den negativen Elementen in ${}K$ trennt.

d) Ist das Element ${}23-11{\sqrt {5}}$ positiv oder negativ?

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten ${}n=3$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in K$ Elemente. Zeige, dass dann

${}\vert {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\vert \leq \sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$

gilt.