Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 13

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei die Menge der natürlichen Zahlen und . Zeige, dass die Menge

ebenfalls die Dedekind-Peano-Axiome (mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung?) erfüllt.


Aufgabe

Es seien und Dedekind-Peano-Modelle der natürlichen Zahlen. Es sei

der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit und für alle . Zeige, dass die Addition respektiert, dass also

für alle gilt.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Addition assoziativ ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist und dass das neutrale Element ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Halbring, der kein Peano-Halbring ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Kürzungseigenschaft gilt, d.h. dass aus mit die Gleichheit folgt.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring der Ausdruck

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass in einer Struktur, die die Peano-Axiome für den Nachfolger erfüllt, die Aussage

gilt.


Aufgabe

Es sei die disjunkte Vereinigung aus und aus .[1] Wir definieren auf eine Nachfolgerfunktion, die auf den beiden Bestandteilen durch den üblichen Nachfolger gegeben ist (also durch ), und wir betrachten die als die Null von .

a) Zeige, dass die ersten beiden Axiome aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Nachfolgerfunktion erfüllt.

b) Zeige, dass es keine Addition auf gibt, die mit den Additionen auf und auf übereinstimmt und für die die Abziehregel gilt.

c) Gilt das erststufige Induktionsaxiom (formuliert für die Nachfolgerfunktion)?[2]


Aufgabe

Zeige, dass die Vorgängereigenschaft

aus der Menge der erststufigen Peano-Axiome ableitbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Division mit Rest aus der Menge der erststufigen Peano-Axiome ableitbar ist.


Aufgabe

Betrachte die Produktmenge mit der Nachfolgerfunktion

und der sogenannten lexikographische Ordnung, für die

genau dann gilt, wenn oder und ist. Zeige folgende Aussagen.

  1. Es handelt sich um eine totale Ordnung.
  2. Es ist

    für alle .

  3. ist das kleinste Element.
  4. Es liegt eine Wohlordnung (nach unten) vor.
  5. Diese Menge mit der Nachfolgerfunktion erfüllt nicht das Dedekind-Peano-Induktionsaxiom




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Dedekind-Peano-Modelle der natürlichen Zahlen. Es sei

der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit und für alle . Zeige, dass die Multiplikation respektiert, dass also

für alle gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Peano-Dedekind-Modell der natürlichen Zahlen und ein Peano-Halbring. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

mit und gibt. Zeige ferner, dass injektiv ist und die Addition und die Multiplikation respektiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass in einem Peano-Halbring das Distributivgesetz gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass mit und der natürlichen Addition und Multiplikation die ersten sechs Peano-Axiome erfüllt, aber nicht das Induktionsaxiom.




Fußnoten
  1. Dabei muss man darauf achten, die Elemente aus nicht mit denen aus zu verwechseln. Beispielsweise kann man die Elemente einerseits mit und andererseits mit bezeichnen.
  2. Diese Aufgabe ist wohl schwierig.


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