Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 12

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element , , einen Vorgänger besitzt.


Aufgabe

Man gebe Beispiele für Mengen mit einem ausgezeichneten Element und einer Abbildung an, die je zwei der Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, aber nicht das dritte.


Aufgabe

Definiere auf der Menge der Wörter zum einelementigen Alphabet ein Dedekind-Peano-Modell. Worauf beruht die Gültigkeit der Dedekind-Peano-Axiome?


Aufgabe *

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition durch die Bedingungen

eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Addition auf den natürlichen Zahlen kommutativ und assoziativ ist und dass die Abziehregel (d.h., dass aus für ein stets folgt) gilt.


Aufgabe

Sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Multiplikation durch die Bedingungen

eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Zeige, dass in der arithmetischen Sprache erster Stufe mit den Konstanten , dem Nachfolgersymbol und den zweistelligen Funktionssymbolen und nur abzählbar viele Teilmengen von „adressierbar“ sind und dass daher das zweitstufige Induktionsaxiom der Dedekind-Peano-Axiome nicht in dieser Sprache formulierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass man für jede Teilmenge die arithmetische Sprache erster Stufe um ein einstelliges Relationssymbol und die erststufigen Peano-Axiome um geeignete Axiome ergänzen kann, derart, dass diese neue Axiomatik in der Standardinterpretation genau dann gilt, wenn als interpretiert wird. Man folgere daraus, dass mit überabzählbar vielen Relationssymbolen alle Teilmengen der natürlichen Zahlen „adressierbar“ sind.

(Dies bedeutet aber weder, dass für jede Struktur einer solchen Axiomatik jede Teilmenge adressierbar ist, noch, dass das zweitstufige Induktionsaxiom, das eine Aussage über alle Teilmengen macht, erststufig formulierbar ist).

Aufgabe

Wir definieren auf eine neue Relation durch folgende Vorschrift: Für zwei Zahlen mit und mit ungerade sei

(rechts wird auf die natürliche Ordnung in Bezug genommen).

  1. Zeige, dass eine totale Ordnung auf ergibt und beschreibe exemplarisch diese Ordnung.
  2. Zeige, dass es zu jedem ein wohldefiniertes Element , , derart gibt, dass gilt und dass es zwischen und keine weiteren Elemente gibt (diese Formulierung ist zu präzisieren).
  3. Erfüllt die Menge die Dedekind-Peano-Axiome?


Wir erinnern an die Definition eines algebraisch abgeschlossenen Körpers. Die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen (Fundamentalsatz der Algebra), die reellen Zahlen nicht.


Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.


Aufgabe

Definiere über der Symbolmenge einen algebraisch abgeschlossenen Körper mit Hilfe eines Axiomenschemas.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Sei das Ziffernalphabet. Definiere die Teilmenge , die aus den korrekt gebildeten Zifferndarstellungen einer natürlichen Zahl besteht. Definiere auf eine Nachfolgerabbildung und zeige, dass zu einem Dedekind-Peano-Modell wird. Worauf beruht die Gültigkeit der Dedekind-Peano-Axiome?


Aufgabe (7 Punkte)

Sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition 12.7 festgelegten Multiplikation. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. für alle .
  2. für alle , d.h. ist das neutrale Element für die Multiplikation.

  3. für alle .

  4. Die Multiplikation ist kommutativ.
  5. Die Multiplikation ist assoziativ.
  6. Aus einer Gleichung mit folgt (Kürzungsregel).
  7. Für beliebige gilt

    (Distributivgesetz).


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass das erststufige Axiomenschema für die Induktion in gilt.


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