Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 6

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Wir wollen für den Polynomring in einer Variablen über einem Körper zeigen, dass dort viele wichtige Sätze, die für den Ring der ganzen Zahlen gelten, ebenfalls Gültigkeit haben. Dass ein euklidischer Bereich vorliegt, haben wir schon gesehen. Es gilt aber auch die eindeutige Primfaktorzerlegung. Um diese adäquat formulieren zu können, brauchen wir einige Vorbereitungen zur allgemeinen Teilbarkeitslehre.



Teilbarkeitsbegriffe

Definition  

Sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .

Beispielsweise ist ein Teiler von in , aber kein Teiler von . In ist ein Teiler von , aber nicht von .



Lemma

In einem kommutativen Ring gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .

Beweis

Siehe Aufgabe 6.20.



Definition  

Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe 6.9.

In sind zwei Zahlen genau dann zueinander assoziiert, wenn ihr Betrag übereinstimmt, wenn sie also gleich oder negativ zueinander sind. Bei sind zwei Polynome zueinander assoziiert, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar , , ineinander übergehen. Durch diese Operation kann man erreichen, dass der Leitkoeffizient eins wird. Jedes Polynom ist also assoziiert zu einen normierten Polynom.

Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.


Lemma

In einem kommutativen Ring gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  2. Ist ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Beweis

Siehe Aufgabe 6.10.




Irreduzibel und prim

Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich (siehe nächste Vorlesung) vorliegt, sind sie äquivalent.


Definition  

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort „prim“ in der folgenden Definition auf.


Definition  

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass keine Primzahl ist. Dabei ist die nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche.



Lemma  

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis  

Angenommen, wir haben eine Zerlegung . Wegen der Primeigenschaft teilt einen Faktor, sagen wir . Dann ist bzw. . Da kein Nullteiler ist, folgt , so dass also eine Einheit ist.


In vielen wichtigen Ringen gilt hiervon auch die Umkehrung, worauf wir noch ausführlich zu sprechen kommen.



Irreduzible Polynome

Die irreduziblen Elemente im Polynomring über einem Körper sind nicht einfach zu charakterisieren. Die Antwort hängt auch wesentlich vom Körper ab, und nicht für jeden Körper lassen sich die irreduziblen Polynome übersichtlich beschreiben. Bei Irreduzibilitätsfragen kann man stets mit Einheiten multiplizieren, daher muss man nur normierte Polynome untersuchen.


Beispiel  

Die Irreduzibilität eines Polynoms hängt wesentlich vom Grundkörper ab. Zum Beispiel ist das reelle Polynom irreduzibel, dagegen zerfällt es als Polynom in als

Ebenso ist das Polynom irreduzibel, aber über hat es die Zerlegung

Übrigens kann die Zerlegung über einem größeren Körper manchmal dazu benutzt werden um zu zeigen, dass ein Polynom über dem gegebenen Körper irreduzibel ist.


Als echte Faktoren für ein Polynom kommen nur Polynome von kleinerem Grad in Frage. Insbesondere sind daher lineare Polynome, also Polynome von Typ , , stets irreduzibel. Eine notwendige Bedingung an die Irreduzibilität eines Polynoms ist wegen Lemma 5.5, dass es keine Nullstelle in besitzt. Deshalb und aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra sind daher in die linearen Polynome die einzigen irreduziblen Polynome.



Lemma  

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Dann ist ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel,

wenn es keine Nullstelle in besitzt.

Beweis  

In einer echten Primfaktorzerlegung von , , muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom teilt aber nach Lemma 5.5 das Polynom genau dann, wenn ist.



Beispiel  

Das Polynom ist im Reellen stets positiv und hat daher keine reelle Nullstelle. Daher besitzt es in nach Lemma 5.5 auch keinen linearen Faktor. Wegen der Zerlegung

ist das Polynom aber nicht irreduzibel.




Größter gemeinsamer Teiler

Definition  

Sei ein kommutativer Ring und . Dann heißt ein Element gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt (). Ein Element heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler dieses teilt.

Die Elemente heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

„Größer“ ist hier bezüglich der Teilbarkeitsrelation zu verstehen, wenn von geteilt wird, so gilt es gemäß diesem Sprachgebrauch als größer. Dies rührt natürlich von der Situation in her, wo Vielfache in der Tat größer im Sinne der natürlichen Ordnung als die Teiler sind.

Bemerkung  

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist ein gemeinsamer Teiler der und eine Einheit, so ist auch ein gemeinsamer Teiler der . Die Elemente sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist (es gibt noch andere Definitionen von teilerfremd, die nicht immer inhaltlich mit dieser übereinstimmen).



Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und

Ein Element heißt ein gemeinsames Vielfaches der , wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird. heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von ist.


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