Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 17

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Quotientenkörper

Bei der Konstruktion von aus betrachtet man die formalen Brüche

und identifiziert zwei Brüche und , wenn ist. Das gleiche Verfahren kann man für jeden Integritätsbereich anwenden und erhält dadurch einen Körper, in dem als Unterring enthalten ist.


Definition  

Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Diese Definition ist etwas vage, gemein ist das folgende: Auf der Menge der Paare aus führt man eine Äquivalenzrelation ein, indem man

Die zugehörige Quotientenmenge ist dann der Quotientenkörper, also

Die Äquivalenzklasse zu schreibt man als . Man definiert dann durch , , spezielle Elemente in und durch

und

(wohldefinierte) Verknüpfungen, die zu einem kommutativen Ring machen. Bei gilt

und somit liegt ein Körper vor. Die Abbildung

ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Die wichtigsten Beispiele für einen Quotientenkörper sind die rationalen Zahlen

und der Quotientenkörper des Polynomrings in einer Variablen über einem (Grund-)körper . Man bezeichnet ihn mit

und nennt ihn den Körper der rationalen Funktionen (über ).

Man kann auch Brüche von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion .


In der Tat definiert ein Bruch aus zwei Polynomen , , eine Funktion

wobei das Komplement der Nullstellenmenge von bezeichnet. Wie schon im Fall von Polynomen und den dadurch definierten polynomialen Funktionen muss man auch hier bei einem endlichen Grundkörper vorsichtig sein und darf nicht die formalen Brüche mit den dadurch definierten Funktionen gleichsetzen.Bei ist dies aber eine richtige und hilfreiche Vorstellung.

Die folgende Aussage kann man so verstehen, dass der Quotientenkörper der minimale Körper ist, in dem man einen Integritätsbereich als Unterring realisieren kann.



Satz  

Sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei

ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper .

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

mit

wobei die kanonische Einbettung

bezeichnet.

Beweis  

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss und damit sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss. Da für auch ist und ein Körper ist, gibt es . Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zur Wohldefiniertheit sei , also . Dann ist auch und durch Multiplizieren mit der Einheit folgt

Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist



Für die vorstehende Aussage ist die Injektivität der Abbildung wichtig. Beispielsweise gibt es für den Ringhomomorphismus keine Faktorisierung über , da es überhaupt keinen Ringhomomorphismus von in einen endlichen Restklassenring von gibt.



Quotientenkörper zu faktoriellen Ringen



Lemma  

Zu einem Primelement in einem faktoriellen Bereich mit Quotientenkörper

ist die Zuordnung

ein (wohldefinierter) Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei

eine weitere Darstellung, also

Dann ist nach Lemma 9.8

woraus sich

ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus Lemma 9.8.




Satz  

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper .

Dann besitzt jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten .

Beweis  

Wir schreiben

mit von verschiedenen Elementen . Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien und , wobei die nicht untereinander assoziiert seien, und Einheiten sind. Dann ist

eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen

gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit für hinreichend großes , dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus für alle und damit auch .


Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl eindeutig schreiben als

mit Primzahlen und Exponenten . Der multiplikative Übergang von nach enspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von nach .

Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise die Menge aller -Tupel mit Werten in , wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von verschieden sein dürfen.



Satz  

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei , , ein System von paarweise nicht assoziierten Primelementen von und sei die Einheitengruppe von

Dann ist (wobei die nach Satz 17.4 eindeutige Einheit bezeichnet)

ein Gruppenisomorphismus mit der Umkehrabbildung

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 17.3 und Satz 17.4.



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