- Quotientenkörper
Bei der Konstruktion von
aus
betrachtet man die formalen Brüche
-
und identifiziert zwei Brüche
und
,
wenn
ist. Das gleiche Verfahren kann man für jeden Integritätsbereich
anwenden und erhält dadurch einen Körper, in dem
als Unterring enthalten ist.
Zu einem
Integritätsbereich
ist der Quotientenkörper
als die Menge der formalen Brüche
-

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Diese Definition ist etwas vage, gemein ist das folgende: Auf der Menge der Paare aus
führt man eine Äquivalenzrelation ein, indem man
-
Die zugehörige Quotientenmenge ist dann der Quotientenkörper, also
-

Die Äquivalenzklasse zu
schreibt man als
. Man definiert dann durch
,
,
spezielle Elemente in
und durch
-

und
-

(wohldefinierte)
Verknüpfungen, die
zu einem kommutativen Ring machen. Bei
gilt
-

und somit liegt ein Körper vor. Die Abbildung
-
ist ein injektiver Ringhomomorphismus.
Die wichtigsten Beispiele für einen Quotientenkörper sind die rationalen Zahlen
und der Quotientenkörper des Polynomrings in einer Variablen über einem (Grund-)körper
. Man bezeichnet ihn mit
und nennt ihn den Körper der rationalen Funktionen
(über
).
Man kann auch Brüche

von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion

.
In der Tat definiert ein Bruch
aus zwei Polynomen
,
,
eine Funktion
-
wobei
das Komplement der Nullstellenmenge von
bezeichnet. Wie schon im Fall von Polynomen und den dadurch definierten polynomialen Funktionen muss man auch hier bei einem endlichen Grundkörper vorsichtig sein und darf nicht die formalen Brüche mit den dadurch definierten Funktionen gleichsetzen.Bei
ist dies aber eine richtige und hilfreiche Vorstellung.
Die folgende Aussage kann man so verstehen, dass der Quotientenkörper der minimale Körper ist, in dem man einen Integritätsbereich als Unterring realisieren kann.
Für die vorstehende Aussage ist die Injektivität der Abbildung
wichtig. Beispielsweise gibt es für den Ringhomomorphismus
keine Faktorisierung über
, da es überhaupt keinen Ringhomomorphismus von
in einen endlichen Restklassenring von
gibt.
- Quotientenkörper zu faktoriellen Ringen
Zu einem
Primelement
in einem
faktoriellen Bereich
mit
Quotientenkörper
ist die Zuordnung
-
ein
(wohldefinierter)
Gruppenhomomorphismus.
Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
-

eine weitere Darstellung, also
-

Dann ist nach
Lemma 9.8
-

woraus sich
-

ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus
Lemma 9.8.

Wir schreiben
-

mit von
verschiedenen Elementen
. Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien
und
,
wobei die
nicht untereinander assoziiert seien,
und
Einheiten sind. Dann ist
-

eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen
-

gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit
für hinreichend großes
, dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus
für alle
und damit auch
.

Man kann also beispielsweise jede rationale Zahl
eindeutig schreiben als
-

mit Primzahlen
und Exponenten
.
Der multiplikative Übergang von
nach
enspricht also auf der Ebene der Exponenten dem additiven Übergang von
nach
.
Die eben angeführte eindeutige Darstellung ist mit der Multiplikation verträglich. In der nächsten Aussage bedeutet die Schreibweise
die Menge aller
-Tupel mit Werten in
, wobei aber jeweils nur endlich viele Einträge von
verschieden sein dürfen.
Sei
ein
faktorieller Bereich mit
Quotientenkörper
. Es sei
,
,
ein System von paarweise nicht
assoziierten
Primelementen
von
und sei
die
Einheitengruppe
von
Dann ist
(wobei
die nach
Satz 17.4
eindeutige Einheit bezeichnet)
-
ein
Gruppenisomorphismus
mit der Umkehrabbildung
-
