Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 20/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass auf einer endlichen kommutativen Gruppe ${}G$ jede Funktion ${}h\colon G\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine schwache Höhenfunktion ist.

Aufgabe Aufgabe 20.2 ändern

Zeige, dass ein Körper mit einem Betrag zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die folgenden Standardbeträge von rationalen Zahlen.

1. ${}\vert {13}\vert _{5}$,
2. ${}\vert {-1}\vert _{16}$,
3. ${}\vert {\frac {100}{33}}\vert _{2}$,
4. ${}\vert {\frac {-121}{169}}\vert _{13}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen ${}{\frac {3}{7}}$ und ${}{\frac {5}{13}}$, wenn ${}\mathbb {Q}$ mit dem ${}2$-adischen Standardbetrag versehen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\vert {-}\vert _{p}$ der zugehörige Standardbetrag. Zeige ${}\vert {p^{n}}\vert _{p}=p^{-n}$ für ${}n\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene Primzahlen und seien ${}\vert {-}\vert _{p}$ und ${}\vert {-}\vert _{q}$ die zugehörigen Standardbeträge. Zeige, dass durch

${}h(x):=\vert {x}\vert _{p}\cdot \vert {x}\vert _{q}\,$

kein Betrag auf ${}\mathbb {Q}$ gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\vert {-}\vert _{p}$ der zugehörige Standardbetrag. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass diese Folge genau dann eine Nullfolge bezüglich des gegebenen Betrags ist, wenn die Folge der ${}p$- Exponenten von ${}x_{n}$ bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Konstruiere eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von rationalen Zahlen, die bezüglich jedes Standardbetrages gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe Aufgabe 20.9 ändern

Zeige, dass ein Betrag auf einem Körper ${}K$ genau dann nichtarchimedisch ist, wenn die Abschätzung

${}\vert {f+g}\vert \leq \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\,$

für alle ${}f,g\in K$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\vert {-}\vert$ ein Betrag auf einem Körper ${}K$. Wir setzen im nichtarchimedischen Fall ${}\delta =0$ und im archimedischen Fall ${}\delta =1$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\vert {f+g}\vert \leq 2^{\delta }\cdot \operatorname {max} \left(\vert {f}\vert ,\,\vert {g}\vert \right)\,$

für alle ${}f,g\in K$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper mit einem nichtarchimedischen Betrag ${}\vert {-}\vert$. Zeige, dass ${}{\left\{f\in K\mid \vert {f}\vert \leq 1\right\}}$ ein Unterring von ${}K$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Zahlkörper, ${}R$ der zugehöriger Zahlbereich, ${}{\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von ${}R$, ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(-)$ die zugehörige Bewertung auf ${}K$ und ${}\vert {-}\vert _{\mathfrak {p}}$ der zugehörige Betrag. Zeige

${}R_{\mathfrak {p}}={\left\{f\in K\mid \vert {f}\vert _{\mathfrak {p}}\leq 1\right\}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ und sei ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein maximales Ideal mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$. Es sei ${}e$ der Verzweigungsindex von ${}\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq R_{\mathfrak {p}}$ und ${}f$ der Trägheitsgrad von ${}{\mathfrak {p}}$ über ${}(p)$. Zeige

${}\vert {p}\vert _{{\mathfrak {p}},{\text{ nat}}}=p^{-ef}\,.$