Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 4 3 5 2 3 6 3 2 3 2 2 4 2 3 4 2 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  3. Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl eine natürliche Zahl teilt
  4. Der Binomialkoeffizient .
  5. Die Addition von rationalen Zahlen und .
  6. Ein Dezimalbruch.


Lösung

  1. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
  3. Man sagt, dass die natürliche Zahl die natürliche Zahl teilt, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass ist.
  4. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  5. Die Addition der rationalen Zahlen und ist durch

    definiert.

  6. Ein Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
  2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
  3. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper .


Lösung

  1. Wenn eine Menge ist und wenn

    und

    bijektive Abbildungen sind, so ist

  2. Sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
  3. Für und ist


Aufgabe (2 Punkte)

Führe die zweite binomische Formel für rationale Zahlen auf die zweite binomische Formel für ganze Zahlen zurück.


Lösung

Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als

Unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche erhalten wir


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen sind bekannt.

  1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
  2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
  3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
  4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
  5. Doro ist ein Wurm.
  6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
  7. Lilly schläft bis 5 Uhr und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

  1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
  2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
  3. Fängt der späte Igel den Wurm?


Lösung

  1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
  2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
  3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.


Aufgabe (3 Punkte)

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.


Lösung Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Ist injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?


Lösung Abbildung/N und Z/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Lösung

Seien mit

gegeben. Aufgrund der Injektivität von folgt

und aufgrund der Injektivität von folgt

was die Injektivität von bedeutet.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise in die Gleichheit

durch Induktion über unter Verwendung der Gleichung , wobei die Nachfolgerabbildung bezeichnet.


Lösung

Wir beweisen die Aussage für ein beliebiges durch Induktion über . Bei steht beidseitig . Sei die Aussage nun für schon bewiesen und betrachten wir . Dann ist


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen eine totale Ordnung ist.


Lösung

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen ist . Wenn und ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen mit und gibt. Dann gilt insgesamt

und somit ist auch . Aus und ergibt sich und und somit . Dies ist nach der Abziehregel nur bei möglich, und dies ist wiederum, da kein Nachfolger ist, nur bei möglich. Die Aussage oder beweisen wir durch Induktion über (für jedes feste ), wobei der Induktionsanfang wegen klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes . Wenn die erste Möglichkeit gilt, also , so gilt wegen

erst recht . Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also , so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei ist und die Gesamtaussage gilt für . Andernfalls ist und somit ist nach Fakt *****  (3) und die Gesamtaussage gilt erneut.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für .


Lösung

Beim Induktionsanfang ist , daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der , und daher ist die Summe . Die rechte Seite ist , so dass die Formel für stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für gilt. Dabei ist beliebig. Es ist

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für , also ist die Formel bewiesen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es findet das olympische 100-Meter-Finale mit acht Teilnehmern statt. Sie wissen, welche drei Teilnehmer eine Medaille gewinnen (aber nicht, wer welche Medaille). Wie viele Möglichkeiten für das Gesamtergebnis aller acht Teilnehmer verbleiben (keine Platzierung ist doppelt besetzt)?


Lösung

Für die drei Medaillengewinner, die man kennt, gibt es Möglichkeiten, und für die fünf weiteren Plätze gibt es Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

Möglichkeiten.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.


Aufgabe (2 Punkte)

Führe im Dezimalsystem die Addition

schriftlich durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für ganze Zahlen.


Lösung

Wir setzen voraus, dass kein Vielfaches von ist (andernfalls sind wir fertig). Dann müssen wir zeigen, dass ein Vielfaches von ist. Unter der gegebenen Voraussetzung sind und teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen mit

Da ein Vielfaches von ist, gibt es ein mit

Daher ist

Also ist ein Vielfaches von .


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .


Lösung

a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach Fakt ***** der größte gemeinsame Teiler gleich

b) Es ist

daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl

und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere den Begriff Dreisatzaufgabe samt Lösungsverfahren anhand eines typischen Beispiels.


Lösung Dreisatz/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.


Lösung

Wir führen Induktion über . Bei steht beidseitig , so dass die Aussage gilt. Sei nun die Aussage für bereits bewiesen. Dann ist

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass das Produkt von zwei Dezimalbrüchen wieder eine Dezimalbruch ist.


Lösung

Ein Dezimalbruch hat die Form

mit und . Für zwei solche Brüche ist

wieder von dieser Gestalt.


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer , die bei gegebenem aus die Prozentzahl berechnet.

b) Für welche ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei . Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei . Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei . Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?


Lösung

a) Die ganze Prozentzahl wird bei Ja-Antworten von Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch

berechnet.

b) Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens erhöht. Für ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens erhöht.

c) Die Prozentzahl kommt nicht vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis

(wegen ).

d) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis

(wegen ).

e) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis ebenfalls

(wegen ). Wegen der Symmetrie der Situation (bis auf die Rundung) kommt auch die Prozentzahl doppelt vor, für .