Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/10/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Wechseln zu: Navigation, Suche



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 3 2 4 2 4 3 4 2 2 4 2 2 5 3 5 2 8 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Disjunktheit von Mengen und .
  2. Die Kommutativität einer Verknüpfung
  3. Der Betrag einer ganzen Zahl.
  4. Die Multiplikation von rationalen Zahlen und .
  5. Die gekürzte Darstellung einer rationalen Zahl.
  6. Eine streng fallende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


Lösung

  1. Die Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.
  2. Eine Verknüpfung

    heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  3. Unter dem Betrag einer ganzen Zahl versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl , falls negativ ist.
  4. Die Multiplikation von rationalen Zahlen und ist durch

    definiert.

  5. Ein Bruch heißt gekürzt, wenn und teilerfremd sind.
  6. Die Abbildung heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen.
  2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  3. Der Satz über die algebraische Struktur von .


Lösung

  1. Auf den natürlichen Zahlen ist durch die Größergleich-Relation eine totale Ordnung definiert.
  2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
  3. Die rationalen Zahlen erfüllen die folgenden Eigenschaften.
    1. Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Zu jedem gibt es ein mit
    2. Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Zu jedem , , gibt es ein mit
    3. Es gilt das Distributivgesetz.


Aufgabe (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

  1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  3. Linda engagiert sich bei Attac.


Lösung

(2) ist am unwahrscheinlichsten. Dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen ist stets unwahrscheinlicher als die beiden einzelnen Ereignisse.


Aufgabe (3 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von Cent begleichen?


Lösung

Wir zählen zunächst die Möglichkeiten, mit den -, - und -Centmünzen die folgenden Beträge darzustellen:

Dann betrachten wir in jedem Fall, mit wie vielen -Centmünzen man jeweils noch unterhalb von Cent bleibt, der verbleibende Rest wird mit -Centmünzen aufgefüllt. Hierfür gibt es der Reihe nach

Diese Möglichkeiten für die Zweier muss man mit den obigen Möglichkeiten multiplizieren, das ergibt insgesamt

Möglichkeiten.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Summe von zwei ungeraden natürlichen Zahlen gerade ist.


Lösung

Wir setzen die beiden ungeraden Zahlen als

und

an. Dann ist

gerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Addition auf den natürlichen Zahlen durch die Bedingungen

eindeutig bestimmt ist.


Lösung

Es seien zwei Verknüpfungen und auf gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit

für alle beweisen. Dies machen wir durch Induktion über (für beliebige ). Bei

ist wegen

die Aussage richtig. Sei die Aussage nun für ein bestimmtes schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.


Lösung

Der binomische Lehrsatz besagt

Wir setzen . Dann ergibt sich auf der linken Seite

und auf der rechten Seite einfach .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge geben kann.


Lösung

Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung

gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir
Da dies eine Teilmenge von ist, muss es wegen der Surjektivität ein geben mit
Es gibt nun zwei Fälle, nämlich oder . Im ersten Fall ist also , und damit, nach der Definition von , auch , Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von , , und das ist ebenfalls ein Widerspruch.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler ungerade ist. Zeige, dass eine Quadratzahl ist.


Lösung

Wir betrachten die Primfaktorzerlegung

mit verschiedenen Primzahlen . Die Teiler von sind alle Zahlen mit der Primfaktorzerlegung

mit für alle . Somit gibt es

Teiler von . Wenn diese Zahl ungerade ist, so muss jeder Faktor davon ungerade sein und das bedeutet, dass jedes gerade ist. Man kann also jeweils schreiben. Somit ist

und ist eine Quadratzahl.


Aufgabe (4 Punkte)

Welche Arten von Gleichungen kennen Sie? Geben Sie typische Beispiele.


Lösung

Siehe hier.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.


Lösung

  1. Person schläft in seinem Leben insgesamt

    Stunden, Person schläft insgesamt

    Stunden, sie schlafen also gleich lang. Die Wachzeit der beiden ist

    bzw.

    wegen

    ist länger wach.

  2. Person schläft in seinem Leben insgesamt

    Stunden, Person schläft insgesamt

    Stunden, Person schläft also insgesamt mehr. Die Wachzeit der beiden ist

    bzw,

    wegen

    ist auch länger wach.


Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.


Lösung

. Aus der Beziehung folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass die Primfaktoren von mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in vorkommen müssen.
. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist eine natürliche Zahl mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Die Zahl ist offenbar weder durch , noch durch (Quersummentest) noch durch teilbar. Wegen

ist sie weder durch noch durch teilbar. Wegen

ist sie auch nicht durch teilbar. Wegen

ist sie auch nicht durch teilbar. Wegen

muss man größere Primzahlen nicht durchprobieren und somit ist eine Primzahl.


Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Hertha McGillen ist eine renommierte Forscherin über fliegende Fische. Zur Beobachtung hat ihr Team eine Drohne entwickelt, die sowohl oberhalb als auch unterhalb des Meeresspiegels fliegen kann. Bei einem Einsatz startet die Drohne vom Ausgangspunkt auf dem Schiff, der vier Meter oberhalb des Meeresspiegels liegt. Sie steigt zunächst drei Meter in die Höhe, fliegt dann elf Meter nach unten, dann einen Meter nach oben, dann zwei Meter nach unten, dann sechs Meter nach oben, dann fünf Meter nach unten, dann drei Meter nach oben, dann vier Meter nach unten, dann reißt der Funkkontakt ab.

Wie hoch bzw. tief ist die Drohne insgesamt von ihrem Ausgangspunkt aus geflogen und auf welcher Höhe unter- oder oberhalb des Meeresspiegels brach der Kontakt ab? Wie oft ist die Drohne ein- und wie oft aufgetaucht?


Lösung

Die Höhenpositionen der Drohne sind bezogen auf den Meeresspiegel der Reihe nach

Der Kontakt brach also Meter unterhalb des Meeresspiegels ab und insgesamt ist die Drohne Meter tief geflogen. Sie ist zweimal eingetaucht und einmal aufgetaucht.


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Lösung

  1. Lucy benötigt Sekunden für den Meter langen Zug.
  2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

    Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich Meter pro Sekunde.

  3. In den Sekunden legt der Zug

    Meter zurück.

  4. Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt

    Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

    Meter.


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept der Wohldefiniertheit anhand eines typischen Beispiels.


Lösung Wohldefiniertheit/Typisches Beispiel/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien zwei rationale Zahlen gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl die rationale Zahl

echt zwischen und liegt. In welcher Relation stehen die Zahlen zueinander?


Lösung

Die Ungleichung

folgt gemäß der Überkreuzungsregel unter Verwendung der Voraussetzung aus

die Ungleichung

folgt ebenso aus

Wir behaupten, dass für

die Beziehung

gilt. Dazu berechnen wir

und

Die Differenz des ersten Term zum zweiten Term ist

was die Behauptung bestätigt.


Aufgabe (2 Punkte)

Ist die Zahl

ein Dezimalbruch?


Lösung

In der Summe sind nur die Brüche

keine Dezimalbrüche. Ob die Summe ein Dezimalbruch ist, hängt nur von der Summe dieser Zahlen ab, da die Summe und die Differenz von Dezimalbrüchen wieder ein Dezimalbruch ist. Die Summe der ersten beiden Brüche ist

also ein Stammbruch. Entscheidend ist also die Summe

Dieser Bruch ist gekürzt, also liegt kein Dezimalbruch vor.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion gegenüber Potenzfunktionen.


Lösung

Wir zeigen die Existenz des durch Induktion über für jedes . Für ist die Aussage klar. Sei . Wir schreiben mit und betrachten (für ) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit beruhende Abschätzung

Da positiv ist, gibt es nach Fakt ***** eine natürliche Zahl mit

Für ist dann

wie gewünscht. Sei nun die Aussage für und alle schon bewiesen, und wir müssen sie für beweisen. Wir schreiben mit Zahlen

die es nach Aufgabe ***** gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle die Abschätzung

gilt. Damit gilt für alle

die Abschätzung