Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 3 3 3 2 3 12 2 3 3 1 8 3 3 4 3 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Peano-Axiome.
  2. Die Summe zweier natürlicher Zahlen und .
  3. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
  4. Eine Untergruppe in einer Gruppe .
  5. Eine streng wachsende Abbildung auf einem angeordneten Körper .
  6. Eine Dezimalbruchfolge , , in einem angeordneten Körper .


Lösung

  1. Die Dedekind-Peano-Axiome beziehen sich auf eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und einer Nachfolgerabbildung

    und lauten folgendermaßen.

    1. Das Element ist kein Nachfolger.
    2. Jedes ist Nachfolger höchstens eines Elementes.
    3. Für jede Teilmenge gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
      • ,
      • mit jedem Element ist auch ,

    gelten, so ist .

  • Die Summe ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ausgehend -fach den Nachfolger nimmt.
  • Die ganzen Zahlen haben die Form und mit natürlichen Zahlen . Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
  • Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.
    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit ist auch .
  • Die Abbildung heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.
  • Eine Folge der Form

    mit und

    heißt Dezimalbruchfolge.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen.
  2. Das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen und .
  3. Der Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion.


Lösung

  1. Die natürlichen Zahlen bilden einen kommutativen Halbring.
  2. Es seien zwei teilerfremde natürliche Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen mit .
  3. Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und mit der zugehörigen Exponentialfunktion

    zur Basis . Es sei eine natürliche Zahl. Dann gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt.


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt einen Menschen, der nicht legal ist.


Aufgabe (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.


Lösung

Die Tafeln und sind nicht gleichzeitig sichtbar, da (mindestens) eine davon durch verdeckt wird. Dagegen sind sowohl und ( wird hinter geschoben) als auch und gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn und nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge derart gibt, dass man als Abbildung

auffassen kann ( und unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass bijektiv ist.


Lösung

Es sei

Da sämtliche Elemente aus enthält, die überhaupt unter getroffen werden, kann man als eine Abbildung

auffassen. Diese Abbildung ist surjektiv, da ja jedes Element aus nach Definition getroffen wird. Die Injektivität überträgt sich direkt von auf , da die Gleichheit von Elementen in einer Teilmenge mit der Gleichheit in der Menge übereinstimmt. Daher ist bijektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.


Lösung

Nach Fakt ***** ist mit auch , so dass wohldefiniert ist. Es ist

und daher ist

Also ist


Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle das Pascalsche Dreieck bis .


Lösung

Algebra1 12 fig002.svg







Aufgabe (3 Punkte)

Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften:

  1. Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt.
  2. Deutschland war schon viermal Weltmeister.
  3. Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister.
  4. Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister.

Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?


Lösung

Die zweite und die dritte Weltmeisterschaft muss zwischen 1962 und 2006 (einschließlich) gewonnen worden sein. In diesem Zeitraum fanden 12 Weltmeisterschaften statt. Daher gibt es in diesem Zeitraum Jahrespaare, in denen die Gewinne stattgefunden haben können. Da Petra weiß, dass Deutschland nie direkt hintereinander gewonnen hat, muss sie die aufeinanderfolgenden Paare abziehen. Davon gibt es 11. Also verbleiben insgesamt Möglichkeiten.


Aufgabe (12 (4+3+5) Punkte)

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüpfungen

und

  1. Zeige, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (der größte gemeinsame Teiler von und sei als festgelegt).
  2. Zeige, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (das kleinste gemeinsame Vielfache von und sei als festgelegt).
  3. Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen (mit dem GgT als Addition) ein kommutativer Halbring vorliegt.


Lösung

  1. Die Kommutativität ist klar. Die ist das neutrale Element, da stets

    da ja jede Zahl die teilt und somit der größte Teiler von entscheidend ist, und bei der Wert des GgT nach Definition ist. Zum Nachweis der Assoziativität ist

    zu zeigen. Wenn eine der beteiligten Zahlen ist, so kommt links und rechts das gleiche heraus. Wir können also annehmen, dass alle Zahlen ungleich sind. Wenn die Zahlen durch ihre Primfaktorzerlegung gegeben sind, so ist der größte gemeinsame Teiler durch das Minimum der Exponenten gegeben. Da sich das Minimum assoziativ verhält, gilt auch für den GgT die Assoziativität.

  2. Die Kommutativität ist klar. Die ist das neutrale Element, da stets

    da ja jede Zahl ein Vielfaches der ist. Zum Nachweis der Assoziativität ist

    zu zeigen. Wenn eine der beteiligten Zahlen ist, so kommt links und rechts heraus, da das einzige Vielfache der ist. Wir können also annehmen, dass alle Zahlen ungleich sind. Wenn die Zahlen durch ihre Primfaktorzerlegung gegeben sind, so ist das kleinste gemeinsame Vielfache durch das Maximum der Exponenten gegeben. Da sich das Maximum assoziativ verhält, gilt auch für das KgV die Assoziativität.

  3. Es ist

    zu zeigen. Bei steht beidseitig , da das KgV der mit einer beliebigen Zahl stets ist. Bei (analog ) ergibt sich beidseitig . Wir können also annehmen, dass alle Zahlen ungleich sind. Da sowohl das GgT als auch das KgV aus der Primfaktorzerlegung ablesbar sind, können wir uns auf einen einzigen Primfaktor beschränken. Sei

    und

    Dann ist

    zu zeigen. Da die Aussage symmetrisch in und ist, können wir

    annehmen. Dann steht links das Maximum von und und rechts ist jedenfalls

    so dass das Minimum davon ebenfalls das Maximum von und ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rest von bei Division durch .


Lösung

Die folgenden Zahlen haben bei Division durch den gleichen Rest.

Der Rest ist also .


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere die Rolle der Division mit Rest für die Dezimalentwicklung von natürlichen Zahlen.


Lösung Division Mit Rest/Dezimalentwicklung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über .  Für liegt eine Primzahl vor. Bei ist entweder eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung mit kleineren Zahlen . Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für zusammen. 


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (8 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern, wobei und teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Lösung

Ohne Einschränkung sei . Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit , wobei zwischen und und zwischen und liegt. Es sei der Rest von bei Division durch . Wir behaupten, dass wenn man die Belegung durch die erlaubten Schritte erzielen kann, dass man dann auch erzielen kann, wobei den Rest von modulo bezeichnet. Wir starten also mit

Durch Umschüttung kann man

erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man

erreichen, und ebenso der Reihe nach

wobei so gewählt sei, dass

und

sei. Von hier aus erreichen wir

Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Sei die umgefüllte Menge. Diese erfüllt

Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit

Diese Menge ist also der Rest von modulo ,wie behauptet.

Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen (bzw. die Reste davon modulo a).

Da teilerfremd zu ist, gibt es nach dem Lemma von Bezout positive ganze Zahlen mit

(Falls negativ sind, betrachtet man einfach für ein ausreichend großes ).

Somit ist modulo

so dass bei Division durch für ein gewisses der Rest von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Exponenten zu von .


Lösung

Es ist

Da ungerade ist, ist der Exponent zu von gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Lösung

Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

und mit BC50 hat man die Kosten

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

also

Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Größergleichrelation auf wohldefiniert ist.


Lösung

Es seien

und

die rationalen Zahlen, die verglichen werden sollen, wobei alle Nenner positiv seien. Dann ist

und

Aus

ergibt sich dann gemäß Fakt *****  (6) durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl

Dies schreiben wir als

woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl die Abschätzung

ergibt, die

bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten.


Aufgabe (3 Punkte)

Unterteile die Strecke von nach rechnerisch in drei gleichlange Strecken.


Lösung

Die Länge der Strecke ist

Der dritte Teil davon ist

Die Unterteilungspunkte, die die Strecke in drei gleichlange Stücke unterteilen, sind daher


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion


Lösung Gaußklammer/Minus innen und außen/Skizze/Aufgabe/Lösung