Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 2 3 2 2 4 4 4 1 2 5 3 2 8 3 4 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Der Graph zu einer Abbildung .
  3. Die Assoziativität einer Verknüpfung
  4. Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge .
  5. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen und .
  6. Ein gemischter Bruch.


Lösung

  1. Die Menge

    heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

  2. Man nennt

    den Graphen der Abbildung .

  3. Eine Verknüpfung

    heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  4. Das Element heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.
  5. Die beiden natürlichen Zahlen und heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
  6. Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

    mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
  2. Der Satz über die Teilmengenanzahl einer endlichen Menge.
  3. Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe .


Lösung

  1. Aus einer Gleichung mit und mit folgt .
  2. Die Anzahl der -elementigen Teilmengen in einer -elementigen Menge ist der Binomialkoeffizient
  3. Zu jedem ist das Element mit
    eindeutig bestimmt.


Aufgabe (1 Punkt)

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.


Lösung

Es spielen zwei Spieler gegeneinander, der eine gewinnt genau dann, wenn der andere verliert. Wenn einer also in der ersten Session verlieren kann, so kann auch einer (nämlich der andere) in der ersten Session gewinnen. Die Weisheit ist also unlogisch.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Erstelle eine Wertetabelle, die für die natürlichen Zahlen von bis ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.
  2. Was ist der kleinste volle Geldbetrag, für den man mindestens vier Bargeldmittel einsetzen muss?


Lösung

  1. Für die braucht man die vier Zahlen

    für alle kleineren Zahlen reichen offenbar höchstens drei Geldmittel.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring durch Induktion über , wobei der Fall verwendet werden darf. (dabei sind natürliche Zahlen und ).


Lösung

Sei die Aussage für ein bestimmtes bewiesen. Für Faktoren ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und unter Verwendung des Falles von zwei Faktoren


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die einzigen natürlichen Zahlen, die die Gleichung

erfüllen, die und die sind.


Lösung

Wegen und erfüllen die beiden Zahlen die Gleichung. Sei . Dann ist

und somit ist nach Fakt *****

also ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rest von bei Division durch .


Lösung

Die folgenden Zahlen haben bei Division durch den gleichen Rest (da ein Vielfaches von ist).

Der Rest ist also .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.


Lösung

Es sei

und

Wir setzen

und

Dann ist

also ist auch das Produkt eine Summe von zwei Quadratzahlen.


Aufgabe (4 Punkte)

Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz

die nicht palindromisch ist.


Lösung

Die Zahlen

lassen sich einfach mit dem binomischen Lehrsatz berechnen. Es sind

palindromisch, dagegen ist

nicht palindromisch.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?


Lösung

Wir können

annehmen. Das Produkt hat zumindest die Teiler

wobei allerdings welche identisch sein können. Da aber alle größer als und verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist und . Es kann nur

sein. Es gibt also mindestens Teiler. Wählt man , und , so ist

und dies hat in der Tat sieben Teiler.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .


Lösung

Die kommt in den Zahlen jeweils einmal vor und in nochmal zusätzlich mit einer weiteren Potenz. In kommt also der Primfaktor mit dem Exponenten vor. Wegen der geraden Zahlen kommt der Primfaktor öfters vor. In ist also die größte Zehnerpotenz und somit besitzt genau Nullen am Ende.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Lösung

Wir bestimmen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen mit Hilfe des euklidischen Algorithmus. Es ist

Sodann ist

Der der beiden Zahlen ist also . Daher ist das der beiden Zahlen nach Fakt ***** gleich


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Schwere bzw. Kilogramm.

  1. Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
  2. Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.


Lösung

  1. Wegen

    kann man Kilo Sand abwiegen, indem man in die eine Schale dreimal das Fünfzigergewicht und in die andere zwölfmal das Zwölfergewicht drauflegt und die letzte Schale mit Sand auffüllt.

  2. Da beide Zahlen Vielfache von sind, kann man auch nur Vielfache von abwiegen. Zwei kann man in der Tat abwiegen, wegen

    Indem man diese Situation vervielfacht, kann man jedes Vielfache von abwiegen.


Aufgabe (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?


Lösung

Der Teich enthält Kubikmeter Wasser. In einen Kubikmeter passen Liter und somit der Inhalt von Teekannen. In den Teich passen also

Teekannen. Somit befinden sich im Teich ca.

Kaulquappen.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise, dass die rationalen Zahlen einen Körper bilden.


Lösung

  1. Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Sei also

    Dann ist

    Ferner ist

    Zu betrachtet man . Dann ist

  2. Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die hat die Eigenschaft

    es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl ist mit (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von verschieden) ist auch der umgedrehte Bruch

    eine rationale Zahl, und es gilt

  3. Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei

    Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Beschreibe in Worten, wie man den Term

    ausrechnet.

  2. Schreibe die Funktion

    als eine Hintereinanderschaltung von möglichst einfachen Abbildungen.


Lösung

  1. Man nimmt die Zahl und nimmt davon die dritte Potenz, man multipliziert also die mit sich selbst und das Ergebnis nochmal mit . Dieses Ergebnis invertiert man. Das Ergebnis davon multipliziert man mit , das Ergebnis davon dividiert man durch und von diesem Ergebnis nimmt man das Negative.
  2. Wir betrachten die Abbildungen

    und

    Dann ist die angegebene Funktion gleich

    wobei man im Definitionsbereich von die herausnehmen muss.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.


Lösung

Wir setzen

Da ist, ist auch

und damit ist

Wir setzen sodann

so dass die geforderte Gleichheit

gilt. Wegen ist

also ist auch


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jedes der Dezimalbruch

die rationale Zahl mit einem Fehler von maximal approximiert (von unten).


Lösung

Wir müssen die Abschätzungen

nachweisen. Wir schreiben diese Bedingung als

Um dies zu zeigen multiplizieren wir über Kreuz. Für die linke Seite erhalten wir

wobei die letzte Abschätzung auf Fakt ***** beruht. Wenn man zu die Zahl hinzuaddiert, so erhält man , was die zweite Abschätzung ergibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Periodizitätseigenschaft bei der Division von natürlichen Zahlen.


Lösung

Wenn für ein der Rest ist, so sind auch alle weiteren Reste und damit auch die Ziffern gleich , so dass eine Periodenlänge vorliegt. Nehmen wir also an, dass alle Reste von verschieden sind. Da die Reste

allesamt zwischen und liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass

gilt. Da und für alle allein von abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge

unendlich oft periodisch.