Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 35

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne




Übungsaufgaben

Aufgabe

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von nach auftreten?

Regular quadrilateral.svg
U+25B1.svg
Regular triangle.svg
Trapezoid2.png
Hexagon.svg
Blancuco.jpg
Zero-dimension.GIF
Segment graphe.jpg
Disk 1.svg
Geometri romb.png


Aufgabe *

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

eine lineare Abbildung ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und lineare Abbildungen. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Hintereinanderschaltung

    ist ebenfalls linear.

  2. Wenn bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung

    linear.


Aufgabe *

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe *

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe

Es sei die durch die lineare Gleichung gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

derart, dass das Bild von gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild einer Geraden unter einer linearen Abbildung entweder eine Gerade oder ein Punkt im ist.


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung. Zeige, dass das Urbild eines Punktes ein affiner Unterraum des ist.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix über dem Körper , die zugehörige lineare Abbildung und das (vom Störvektor abhängige) zugehörige lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Urbild von unter der linearen Abbildung ist.


Aufgabe *

Ergänze den Beweis zu Satz 35.10 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der linearen Abbildungen


Aufgabe

Mustafa Müller hat seinen neunten Geburtstag. Für die Feier backt seine Oma drei Himbeerkuchen, zwei Käsekuchen und vier Apfelkuchen. Berechne die insgesamt benötigten Zutaten mit Hilfe von Beispiel 35.12.


Aufgabe

Beschreibe die Situation aus Beispiel 31.4 mit Hilfe einer linearen Abbildung.


Aufgabe

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte Kalorien Vitamin C Fett
Schokokeks 10 5 3
Waffelröllchen 8 7 6
Mandelstern 7 3 1
Nougatring 12 0 5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel das Aufnahmetupel berechnet.

b) Heinz isst Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst Nougatringe und Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst Mandelsterne mehr und Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.


Aufgabe *

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

6 2 3
4 1 2
0 5 2
2 1 5

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Dreiertupel von Produktmengen die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?


Aufgabe *

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe

Die Telefonanbieter und kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr durch das Kundentupel ausgedrückt wird (dabei steht für die Anzahl der Kunden von im Jahr u.s.w.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

  1. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu je zu bzw. zu .
  2. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .
  3. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel aus berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel in vier Jahren?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung. Zeige, dass der Kern von ein Untervektorraum des ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

und

Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für , für und für .


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine Familie von Vektoren im . Zeige, dass für die lineare Abbildung

die folgenden Beziehungen gelten.

  1. ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
  2. ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis von ist.


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr wird daher durch ein -Tupel angegeben.

Von den Traglingen erreichen -tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen -tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen -tel das reife Alter und von den Reifen erreichen -tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und Halbstarke zeugen Nachkommen und Reife zeugen Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand aus dem Bestand berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand in fünf Jahren?


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