Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 43/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme

$[-3,2]\,\cap \,]-2,3[.$

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ und es seien ${}x,y\in [a,b]$. Zeige

${}\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Schreibe die Menge

$]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}$

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Intervallen in einem angeordneten Körper ${}K$ wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen Intervall in einem angeordneten Körper offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}I_{1},I_{2}$ Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}I_{1}\cap I_{2}\neq \emptyset$. Zeige, dass die Vereinigung ${}I_{1}\cup I_{2}$ wieder ein Intervall ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}I\subseteq K$ ein Intervall mit den Intervallgrenzen ${}a<b$. Zeige, dass es in ${}I$ eine rationale Zahl gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}I\subseteq K$ ein Intervall mit den Intervallgrenzen ${}a<b$. Zeige, dass es in ${}I$ unendlich viele rationale Zahlen gibt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$. Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}0\notin I$. Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)

${}\vert {4x-3}\vert <\vert {2x-3}\vert \,.$

b)

${}\vert {\frac {x-2}{3x-1}}\vert \leq 1\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}7$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}{\frac {1}{2}}$ zum Startwert ${}x_{0}=1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}$. Für ein Folgenglied gelte ${}x_{n}={\sqrt {c}}$. Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich ${}{\sqrt {c}}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl ${}c\in K_{-}$ (mit einem positiven Startwert ${}x_{0}$) berechnen möchte?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert ${}x_{0}$ die Quadratwurzel von ${}c\in K_{+}$ berechnen möchte?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x)=x^{2}+4x-3\,.$

Es ist ${}f(-5)=2>0$ und ${}f(-4)=-3<0$. Führe, ausgehend vom Intervall ${}[-5,-4]$, Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion ${}f$ an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge ${}{\frac {1}{16}}$ erreicht ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Abbildung

$K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0&\ldots &0&0\\0&a&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&a&0\\0&0&\ldots &0&a\end{pmatrix}},$

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Menge

${}R={\left\{{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )\,.$

1. Zeige, dass ${}R$ eine Untergruppe von ${}\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$ (bezüglich der Addition) ist.
2. Zeige, dass ${}R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
3. Zeige, dass ${}R$ die rationalen ${}\mathbb {Q}$ als Diagonalmatrizen enthält.
4. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
5. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.
6. Zeige, dass ${}R$ eine Quadratwurzel zu ${}-1$ enthält.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne

${\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

${\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-4+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{3}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ein angeordneter Körper ${}K$ enthalte die Wurzeln ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ und ${}{\sqrt[{7}]{2}}$. Zeige, dass ${}K$ auch ${}{\sqrt[{21}]{2}}$ enthält.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke

${\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke

${\sqrt[{3}]{6}}\cdot {\sqrt[{4}]{5}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass

${}U={\left\{x\in K_{+}\mid {\text{Es gibt ein }}m\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}x^{m}\in \mathbb {Q} \right\}}\,$

eine Untergruppe von ${}(K_{+},1,\cdot )$ bildet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf ${}\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ die Relation ${}(p,m)\sim (q,n)$, falls ${}p^{n}=q^{m}$ gilt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Es sei

   ${}Q=(\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} )/\sim \,$

   die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf ${}Q$ durch

   ${}[(p,m)]\cdot [(q,n)]:=[(p^{n}q^{m},nm)]\,$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

3. Zeige, dass ${}Q$ eine kommutative Gruppe ist.
4. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem ${}p\in \mathbb {Q} _{+}$ und jedes ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ die Wurzel ${}{\sqrt[{m}]{p}}$ gibt. Zeige, dass die Zuordnung

   $Q\longrightarrow K_{+},\,[(p,m)]\longmapsto {\sqrt[{m}]{p}},$

   ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei offenen Intervallen in einem angeordneten Körper ${}K$ wieder ein offenes Intervall ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.

${}\vert {5x-8}\vert <\vert {11x-6}\vert \,.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}3$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}{\frac {1}{3}}$ zum Startwert ${}x_{0}=1$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x)=x^{2}+4x-3\,.$

Es ist ${}f(0)=-3<0$ und ${}f(1)=2>0$. Führe, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion ${}f$ an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge ${}{\frac {1}{16}}$ erreicht ist.