Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 24
- Die Pausenaufgabe
Ordne die folgenden rationalen Zahlen gemäß ihrer Größe.
- Übungsaufgaben
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.
Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen und liegen.
Warum braucht man in der Definition 24.1 die Bedingung, dass beide Nenner positiv sind?
Unterteile die Strecke von nach rechnerisch in drei gleichlange Strecken.
Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?
Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.
Wer fährt schneller?
Wir wollen (ohne den Strahlensatz zu benutzen) begründen, dass die geometrische Multiplikation von rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl korrekt ist, also mit der algebraisch eingeführten Multiplikation übereinstimmt. Wir beschränken uns auf positive rationale Zahlen und bezeichnen die geometrische Multiplikation mit .
- Zeige, dass für positive natürliche Zahlen und rationale Zahlen die Gleichheit
gilt.
- Zeige, dass für positive natürliche Zahlen und rationale Zahlen die Gleichheit
gilt.
- Zeige, dass generell für rationale Zahlen die Gleichheit
gilt.
Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge (das Einheitsquadrat) wird als festgelegt.
- Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
- Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt.
Das folgende Konzept reicht historisch weiter zurück als das der rationalen Zahlen.
Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.
Zeige, dass zwei Strecken und genau dann kommensurabel sind, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass von beiden Strecken ein ganzzahliges Vielfaches ist.
Es sei ein rationale Zahl auf der Zahlengeraden. Zeige, dass zu einem weiteren Punkt genau dann kommensurabel ist, wenn ebenfalls rational ist.
Gabi Hochster hat die Addition und die Multiplikation der rationalen Zahlen verstanden und möchte jetzt die Operation verstehen, bei der man
setzt. Sie beschränkt sich auf positive . Überprüfe ihre Behauptungen:
- Bei
gilt
Dies kann man algebraisch und geometrisch beweisen.
- Die Verknüpfung ist für rationale Zahlen nicht wohldefiniert.
- Wenn man für rationale Zahlen stets ihre teilerfremde Darstellung nimmt, so ist die Verknüpfung wohldefiniert.
- Die Verknüpfung ist kommutativ.
- Die Verknüpfung ist nicht assoziativ.
Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Verknüpfung auf den Bruchzahlen nennt man Mediant-Addition.
Man finde sinnvolle Interpretationen für die Mediant-Addition
auf den Bruchzahlen. Man betrachte beispielsweise Aufgabe 23.30.
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.
Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element negativ ist.
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für das inverse Element gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für die inversen Elemente gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und seien positive Elemente. Zeige, dass zu äquivalent ist.
Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.
Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente aus . Zeige
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 23.41 eingeführte Abbildung
injektiv ist.
Zeige die Abschätzung
für .
Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung
Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion
in einem angeordneten Körper (dabei seien beliebige Elemente in ).
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn oder ist.
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
- Es ist .
Es sei ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien Elemente in . Zeige, dass für das arithmetische Mittel die Beziehung
gilt.
Es sei ein Körper mit . Zeige, dass die Verknüpfung, die zwei Elementen und ihr arithmetisches Mittel zuordnet, nicht assoziativ ist.
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes die Ungleichung erfüllt ist. Für welche gilt Gleichheit?
Zeige die Abschätzung
für .
Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen eine totale Ordnung ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige die Abschätzung
Aufgabe (4 (1+3) Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 23.41 konstruierte Zuordnung .
a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.
b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in mit den Verknüpfungen in übereinstimmen und die Ordnung auf mit der Ordnung auf übereinstimmt.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Ergänze den Stern-Brocot-Baum um eine weitere Zeile.
<< | Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I | >> |
---|