Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 54/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten den rationalen Einheitskreis

und die Gerade

  1. Bestimme die Schnittpunkte .
  2. Wie sieht es aus, wenn man statt die reellen Zahlen nimmt?
  3. Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat?
  4. Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen und .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien , , und sei

der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Es sei eine Gerade in mit der Eigenschaft, dass es auf mindestens einen Punkt gibt mit . Zeige, dass ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

  1. Skizziere und .
  2. Erstelle eine Gleichung für .
  3. Bestimme die Schnittpunkte
  4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
  5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

für die Körper , , und .


Aufgabe Referenznummer erstellen

  1. Skizziere einen Kreis mit einem bestimmten Radius.
  2. Trage auf einem Faden den Radius als Einheitsstrecke und Vielfache davon ein.
  3. Bestimme mit dem Faden den ungefähren Wert des Kreisumfanges.
  4. Lege einen Startpunkt auf dem Kreis fest (der Kreismittelpunkt als Nullpunkt und der Startpunkt als legen ein Koordinatensystem fest).
  5. Finde zu verschiedenen Punkten (etwa Einheitsstrecke, halbe Einheitsstrecke, doppelte Einheitsstrecke) auf dem Faden den zugehörigen trigonometrischen Punkt. Schätze seine Koordinaten jeweils ab.
  6. Finde zu verschiedenen Punkten auf dem Kreis den zugehörigen Punkt auf dem Faden.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.

Grad Bogenmaß Prozent


Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die trigonometrischen Dreiecke zu den Winkeln

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe Aufgabe 54.16 ändern

Begründe die Abschätzung

für .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

b)

c)


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wie hoch muss ein Spiegel mindestens sein, damit man sich in ihm vollständig sehen kann (ohne sich zu verrenken)?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Folge

nicht konvergiert.


Mit einem Ausdruck der Form meint man .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).





Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion


Aufgabe Aufgabe 54.25 ändern

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?


Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch im Sinne der folgenden Definition.


Eine Funktion heißt periodisch mit Periode , wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine periodische Funktion und

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Die nächsten Aufgaben verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.


Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.

Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von , ob eine gerade Funktion ist?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von , ob eine ungerade Funktion ist?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Betrag

eine gerade Funktion ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine lineare Funktion

eine ungerade Funktion ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Polynom. Zeige, dass genau dann eine gerade Funktion definiert, wenn für alle ungeraden Indizes ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Polynom. Zeige, dass genau dann eine ungerade Funktion definiert, wenn für alle geraden Indizes ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Erstelle die Drehmatrizen zu den Winkeln


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

die Menge aller Drehmatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung.

  1. Zeige, dass eine Gruppe ist.
  2. Zeige, dass die Abbildung

    ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

  3. Zeige, dass der Kern der Abbildung ist.
  4. Zeige die Gruppenisomorphie


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die „Ableitung“ der Sinusreihe unter der (in diesem Fall richtigen) Annahme, dass man bei einer unendlichen Summe von Funktionen gliedweise ableiten darf.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen und .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass man jede stetige Funktion

als mit einer stetigen geraden Funktion und einer stetigen ungeraden Funktion schreiben kann.



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