Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 2

Definition

Zu  $n\in \mathbb{N}$  heißt die Untergruppe

$A_n:=\{\sigma \in S_n\mid \mathrm{sgn}(\sigma )=1\}$

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Zur Erinnerung: Das Signum einer Permutation gibt an, ob die Anzahl der Transpositionen zu ihrer Darstellung gerade oder ungerade ist. Im ersten Fall ist $\mathrm{sgn}(\sigma )=1$ und die Permutation heißt gerade, im zweiten Fall ist $\mathrm{sgn}(\sigma )=-1$ und die Permutation heißt ungerade.

Die alternierende Gruppe $A_n$ operiert wie die volle Permutationsgruppe auf $K[X_1,\dots ,X_n]$. Ein symmetrischen Polynom ist natürlich erst recht invariant unter allen geraden Permutationen, daher

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^{S_n}\subseteq K[X_1,\dots ,X_n{]}^{A_n}\subseteq K[X_1,\dots ,X_n].$

Zur Beschreibung des Invariantenringes unter der alternierenden Gruppe ist der Begriff des Charakters sinnvoll.

Zur Erinnerung: Ein Charakter einer Gruppe $G$ in einem Körper $K$ ist ein Gruppenhomomorphismus

$\chi :G⟶(K^{\times },1,\cdot ).$

Dabei ist $K^{\times }$ die Einheitengruppe des Körpers. Das ist das Gleiche wie die allgemeine lineare Gruppe ${\mathrm{GL}}_1\left(K\right)$. Einen Charakter kann man also auch als eine eindimensionale Darstellung ansehen.

Der bekannteste Charakter für die ${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$ ist die Determinante. Jede Darstellung $G\to {\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$ induziert durch

$G⟶{\mathrm{GL}}_n\left(K\right)\stackrel{det}{⟶}{K}^{\times }$

einen Charakter.

Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$G\times V⟶V$

eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$. Es sei

$\chi :G⟶K^{\times }$

ein Charakter. Dann nennt man

$K[V{]}_{\chi }^G:=\{f\in K[V]\mid f\sigma =\chi (\sigma )\cdot f\text{ für alle }\sigma \in G\}$

die $\chi$-relativen Invarianten oder Semiinvarianten.

Die Invarianten sind also die Semiinvarianten relativ zum trivialen Charakter. Die $\chi$-relativen Invarianten sind ein $K[V{]}^G$-Untermodul von $K[V]$: Wenn $g$ invariant ist und $f$ $\chi$-invariant, so ist

$(gf)\sigma =(g)\sigma \cdot (f)\sigma =g(\chi (\sigma )f)=\chi (\sigma )gf.$

Lemma

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\ne 2$.

Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe $S_n$ auf dem Polynomring die Gleichheit

$K[X_1,\dots ,X_n{]}_{\mathrm{sgn}}^{S_n}=K[X_1,\dots ,X_n{]}^{S_n}\cdot \mathrm{△},$

wobei  $\mathrm{△}=\prod _{j<i}(X_i-X_j)$  die Vandermondesche Determinante ist.

Beweis

Das Polynom $\mathrm{△}$ hat die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer Transposition das Vorzeichen um $-1$ ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn $i$ und $i+1$ miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor $X_{i+1}-X_i$ der Faktor $X_i-X_{i+1}$ und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird $\mathrm{△}$ auf $-\mathrm{△}$ abgebildet.
Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom $F$ ein Vielfaches von $\mathrm{△}$ ist. Der andere Faktor ist dann automatisch $S_n$-invariant.

Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der Faktorialität von $K[V]$ zu zeigen, dass $X_i-X_j$ ein Teiler von $F$ ist ($i\ne j$). Wir schreiben $F$ in den neuen Variablen $X_k,k\ne i,j,X_i+X_j,X_i-X_j$ als

$F=\sum _{n=0}^m{G}_n(X_k,X_i+X_j){(X_i-X_j)}^n.$

Dann ist einerseits

$F(X_i\mapsto X_j)=\sum _{n=0}^m(-1{)}^n{G}_n(X_k,X_i+X_j){(X_i-X_j)}^n$

und anderseits (da $F$ signumsinvariant ist)

$F(X_i\mapsto X_j)=-F=-\sum _{n=0}^m{G}_n(X_k,X_i+X_j){(X_i-X_j)}^n.$

Daraus folgt wegen  $\mathrm{char}(K)\ne 2$,  dass für $n$ gerade  $G_n=0$  sein muss. Insbesondere ist  $G_0=0$.  Also ist  $F=H(X_i-X_j)$,  wie behauptet.

$◻$

Nochmal explizit: Es geht um die Polynome, die relativ inveriant sind zur Signumsabbildung, für die also  $F\sigma =\mathrm{sgn}(\sigma )F$  für alle Permutationen gilt. Für eine gerade Permutation $\sigma$ muss also $F\sigma =F$ sein, für eine ungerade Permutation dagegen $F\sigma =-F$. Insbesondere sind solche Polynome invariant unter der alternierenden Gruppe.

Proposition

Es sei $R\times G\to R$ eine Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Es sei  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

1.  $R^G\subseteq R^H$. 
2. Sind $H_1$ und $H_2$ Untergruppen in $G$ mit  $G=H_1\cdot H_2$,  so ist

   $R^{H_1}\cap R^{H_2}=R^G.$

3. Ist $H$ ein Normalteiler in $G$, so operiert die Restklassengruppe $G/H$ auf $R^H$ durch

   $f[\sigma ]:=f\sigma .$

   Dabei ist

   $R^G={\left(R^H\right)}^{G/H}.$

Beweis

(1) ist klar.
(2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man  $\sigma =\prod _{i=1}^n{\sigma }_i$  mit gewissen  ${\sigma }_i\in H_1$  oder  ${\sigma }_i\in H_2$  schreiben kann.

Die Inklusion $\supseteq$ ist nach (1) klar. Die Inklusion $\subseteq$ ist wegen

$f\sigma =f\prod _{i=1}^n{\sigma }_i=f{\sigma }_1\prod _{i=2}^n{\sigma }_i=f\prod _{i=2}^n{\sigma }_i=f$

klar.
(3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Es seien dazu  $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in G$  mit  ${\sigma }^{\prime }{\sigma }^{-1}\in H$  gegeben und  $f\in R^H$.  Dann ist

$f{\sigma }^{\prime }=f{\sigma }^{\prime }{\sigma }^{-1}\sigma =f\sigma .$

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für  $\sigma \in G$  und  $\tau \in H$  ein  ${\tau }^{\prime }\in H$  mit  $\sigma \tau ={\tau }^{\prime }\sigma$.  Für  $f\in R^H$  ist

$(f\sigma )\tau =f{\tau }^{\prime }\sigma =f\sigma$

und somit gehört $f\sigma$ ebenfalls zu $R^H$. Wir haben also eine Abbildung

$R^H\times G⟶R^H.$

Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus

$f([\sigma ][\tau ])=f[\sigma \tau ]=f(\sigma \tau )=(f\sigma )\tau =(f[\sigma ])\tau =(f[\sigma ])[\tau ].$

Es liegt also eine Operation von $G$ auf $R^H$ vor, und da die Elemente  $\sigma \in H$  identisch wirken, induziert dies eine Operation von $G/H$ auf $R^H$. Bei den Abbildungen $f\mapsto f\sigma$ handelt es sich um Ringautomorphismen auf $R^H$, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf $R$ handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von ${\sigma }^{-1}$ ergibt.

Wir kommen zur Gleichheit

$R^G={\left(R^H\right)}^{G/H}.$

Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei  $f\in R^G$.  Dann ist insbesondere  $f\in R^H$.  Wegen  $f[\sigma ]=f\sigma =f$  ist $f$ auch $G/H$- invariant. Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ sei  $f\in {\left(R^H\right)}^{G/H}\subseteq R^H$.  Doch dann ist für  $\sigma \in G$  wiederum  $f\sigma =f[\sigma ]=f$. 

$◻$

Satz

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik  $\mathrm{char}(K)\ne 2$.  Die alternierende Gruppe $A_n$ operiere natürlich auf  $V=K^n$. 

Dann ist

$K[V{]}^{A_n}=K[V{]}^{S_n}\oplus K[V{]}_{\mathrm{sgn}}^{S_n}=K[E_1,\dots ,E_n]\oplus K[E_1,\dots ,E_n]\cdot \mathrm{△}.$

Beweis

Die Gleichheit rechts ergibt sich aus Fakt ***** und Fakt *****. Auf $K[V{]}^{A_n}$ operiert die Restklassengruppe  $S_n/A_n=\{1,-1\}=\mathbb{Z}/(2)$  wie in Fakt ***** beschrieben. Es sei $\tau$ das nichttriviale Element daraus. Dieses wird repräsentiert durch eine beliebige ungerade Permutation, etwa durch eine Transposition. Es sei  $F\in K[V{]}^{A_n}$  ein Polynom, das invariant unter der alternierenden Gruppe ist. Nach Fakt *****  (3) ist $F\tau$ unabhängig von dem gewählten Repräsentanten $\tau$. Es ist

$F=\frac{1}{2}(F+F\tau )+\frac{1}{2}(F-F\tau ),$

wobei die beiden Summanden symmetrisch bzw. signumsinvariant sind. Dies überprüft man, indem man die (geraden oder ungeraden) Permutationen darauf anwendet. Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt $0$ ist: Ein Polynom, das sowohl symmetrisch als auch signumsinvariant ist, muss $0$ sein.

$◻$

Beispiel

Die natürliche Operation der alternierenden Gruppe  $A_3\cong \mathbb{Z}/(3)$  auf dem $K^3$ wird durch den Zyklus

$e_1⟼e_2,e_2⟼e_3,e_3⟼e_1$

erzeugt. Besitzt $K$ dritte primitive Einheitswurzeln, so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis (vergleiche Fakt *****) mit den Eigenvektoren

$e_1+e_2+e_3,e_1+\zeta e_2+{\zeta }^2{e}_3,e_1+{\zeta }^2{e}_2+\zeta e_3.$

Wir führen die neuen Variablen

$U=X+Y+Z,V=X+\zeta Y+{\zeta }^{2}Z,W=X+{\zeta }^{2}Y+\zeta Z$

ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch

$U⟼U,V⟼\zeta V,W⟼{\zeta }^{2}W$

gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich

$K[U,V^3,VW,W^3].$

Die einzige Relation ist durch  $V^3{W}^3=(VW{)}^3$  gegeben.

Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition $Y\leftrightarrow Z$ lässt $U$ unverändert und vertauscht $V$ und $W$. Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass $V^3$ und $W^3$ vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher

$K[U,VW,V^3+W^3].$

Dabei sind

$\begin{array}{cc}VW& =X^2+Y^2+Z^2+\zeta XY+{\zeta }^{2}XY+\zeta XZ+{\zeta }^{2}XZ+\zeta YZ+{\zeta }^{2}YZ\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{V}^3& =X^3+Y^3+Z^3+6XYZ+3{\xi }^{2}X{Y}^2+3\xi X^{2}Y+3\xi X{Z}^2+3{\xi }^2{X}^{2}Z+3{\xi }^{2}Y{Z}^2+3\xi Y^{2}Z\\ \end{array}$

und

$\begin{array}{cc}{W}^3& =X^3+Y^3+Z^3+6XYZ+3\xi X{Y}^2+3{\xi }^2{X}^{2}Y+3{\xi }^{2}X{Z}^2+3\xi X^{2}Z+3\xi Y{Z}^2+3{\xi }^2{Y}^{2}Z.\\ \end{array}$

Für die Vandermondesche Determinante gilt

$\begin{array}{cc}\mathrm{△}& =(Y-X)(Z-X)(Z-Y)\\ & =X{Y}^2-X^{2}Y+X^{2}Z-X{Z}^2+Y{Z}^2-Y^{2}Z\\ & =\frac{1}{3({\xi }^2-\xi )}(V^3-W^3).\end{array}$