Kurs:Körper- und Galoistheorie/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 0 0 2 3 0 0 0 8 0 0 2 0 0 0 4 0 3 3 31




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Unterkörper eines Körpers .
  2. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
  3. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  4. Die eulersche Funktion zu .
  5. Eine -graduierte -Algebra .
  6. Eine aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbare Gerade .


Lösung

  1. Ein Unterring , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von .
  2. Bei einer endlichen Körpererweiterung nennt man die -(Vektorraum-)Dimension von den Grad der Körpererweiterung.
  3. Die Abbildung

    heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

    1. .
  4. Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von .
  5. Eine -Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

    mit -Untervektorräumen derart gibt, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung

    gilt.

  6. Die Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte gibt, so dass die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von für eine Primzahl .
  2. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung .
  3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen.


Lösung

  1. Die Einheitengruppe ist zyklisch mit der Ordnung .
  2. Sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
    1. Das Minimalpolynom von über ist irreduzibel.
    2. Wenn ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
  3. Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine Galoiserweiterung. Dann ist die Körpererweiterung genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe auflösbar ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .


Lösung

Angenommen, wir haben eine Zerlegung . Wegen der Primeigenschaft teilt einen Faktor, sagen wir . Dann ist bzw. . Da kein Nullteiler ist, folgt , so dass also eine Einheit ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.


Lösung

Aufgrund von Satz 5.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass auch die Multiplikation respektiert. Seien dazu , und diese seien repräsentiert durch bzw. aus . Dann wird durch repräsentiert und daher ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 Punkte)

Sei und betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von und das Inverse von . (Man darf dabei verwenden, dass irrationale Zahlen sind.)


Lösung

Wir behaupten zunächst, dass

ist. Als eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen ist dann algebraisch. Dabei ist die Inklusion

klar. Es ist

Daraus ergibt sich

so dass also und damit auch links dazu gehören, was die andere Inklusion ergibt.

Wir betrachten die Körperkette

Dabei ist die Inklusion links echt, da

irrational ist, so dass links eine quadratische Körpererweiterung vorliegt. Aber auch die Inklusion rechts ist echt, denn andernfalls wäre

was zu führt. Bei ist das erneut im Widerspruch zur Irrationalität von . Bei ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von . Bei ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von .

Insgesamt liegt also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen vor, so dass aufgrund der Gradformel der Grad von gleich ist.

Zur Bestimmung des Minimalpolynoms von berechnen wir , das ist

Das Minimalpolynom ist gleich

Setzt man nämlich ein, so erhält man . Da den Körper erzeugt, muss das Minimalpolynom den Grad haben, so dass das Minimalpolynom ist.

Zur Bestimmung des Inversen gehen wir von aus. Daher ist das Inverse gleich


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei . Bestimme, ob die folgenden Permutationen auf der Menge der primitiven neunten Einheitswurzeln durch einen Körperautomorphismus des neunten Kreisteilungskörpers herrühren.


Lösung

Die Körperautomorphismen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie jede Einheitswurzel auf mit einem bestimmten abbilden. Dieses ist dabei durch den ersten Wert festgelegt.

  1. Das ist kein Automorphismus, da
  2. Jede primitive Einheitswurzel wird auf abgebildet, das kommt von einem Automorphismus her.
  3. Das ist die Identität.
  4. Das ist kein Automorphismus, da


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Lösung

Die Menge sei .

a) Die zyklische Permutation

hat offenbar die Ordnung , da zu jedem Element die Potenzen für die Elemente von durchlaufen.

b) Sei und betrachte die Permutation

Die Zahlen und sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen und sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von ist. Die Ordnung ist also .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Quadratur des Kreises.


Lösung

Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Korollar 25.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) muss aber eine konstruierbare Zahl algebraisch sein. Nach dem Satz von Lindemann ist aber und damit auch transzendent.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.


Lösung

Der Einheitskreis selbst ist konstruierbar, da er den Mittelpunkt besitzt und durch läuft. Der Punkt ist ebenfalls konstruierbar und somit hat man auch die -Achse zur Verfügung. Man kann nun den dadurch gegebenen rechten Winkel durch eine konstruierbare Gerade halbieren und erhält einen neuen Schnittpunkt mit dem Einheitskreis, der somit konstruierbar ist. Den entstehenden Winkel kann man wieder halbieren und so erhält man eine neue Gerade und einen neuen Punkt auf dem Einheitskreis. So fortfahrend erhält man unendlich viele Punkte auf dem Einheitskreis.