Kurs:Körper- und Galoistheorie/14/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 0 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | 8 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 3 | 3 | 31 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Unterkörper eines Körpers .
- Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
- Ein
Ringhomomorphismus
zwischen Ringen und .
- Die eulersche Funktion zu .
- Eine -graduierte -Algebra .
- Eine aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbare Gerade .
- Ein Unterring , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von .
- Bei einer endlichen Körpererweiterung nennt man die - (Vektorraum-)Dimension von den Grad der Körpererweiterung.
- Die Abbildung
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
- .
- Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von .
- Eine
-
Algebra
heißt -graduiert, wenn es eine
direkte Summenzerlegung
mit - Untervektorräumen derart gibt, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung
gilt.
- Die Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte derart gibt, dass die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von für eine Primzahl .
- Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung .
- Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen.
- Die Einheitengruppe ist zyklisch mit der Ordnung .
- Sei
eine
Körpererweiterung
und sei ein
algebraisches
Element. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Minimalpolynom von über ist irreduzibel.
- Wenn ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
- Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine Galoiserweiterung. Dann ist die Körpererweiterung genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe auflösbar ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .
Angenommen, wir haben eine Zerlegung . Wegen der Primeigenschaft teilt einen Faktor, sagen wir . Dann ist bzw. . Da kein Nullteiler ist, folgt , sodass also eine Einheit ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Homomorphiesatz für Ringe unter Bezug auf den Homomorphiesatz für Gruppen.
Aufgrund von Satz 5.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu , und diese seien repräsentiert durch bzw. aus . Dann wird durch repräsentiert und daher ist
Ferner ist
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (8 Punkte)
Es sei und betrachte die Körpererweiterung
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von und das Inverse von . (Man darf dabei verwenden, dass irrationale Zahlen sind.)
Wir behaupten zunächst, dass
klar. Es ist
sodass also und damit auch links dazu gehören, was die andere Inklusion ergibt.
Wir betrachten die Körperkette
irrational ist, sodass links eine quadratische Körpererweiterung vorliegt. Aber auch die Inklusion rechts ist echt, denn andernfalls wäre
was zu führt. Bei ist das erneut im Widerspruch zur Irrationalität von . Bei ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von . Bei ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von .
Insgesamt liegt also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen vor, sodass aufgrund der Gradformel der Grad von gleich ist.
Zur Bestimmung des Minimalpolynoms von berechnen wir , das ist
Das Minimalpolynom ist gleich
Setzt man nämlich ein, so erhält man . Da den Körper erzeugt, muss das Minimalpolynom den Grad haben, sodass das Minimalpolynom ist.
Zur Bestimmung des Inversen gehen wir von aus. Daher ist das Inverse gleich
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei . Bestimme, ob die folgenden Permutationen auf der Menge der primitiven neunten Einheitswurzeln durch einen Körperautomorphismus des neunten Kreisteilungskörpers herrühren.
Die Körperautomorphismen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie jede Einheitswurzel auf mit einem bestimmten abbilden. Dieses ist dabei durch den ersten Wert festgelegt.
- Das ist kein Automorphismus, da
- Jede primitive Einheitswurzel wird auf abgebildet, das kommt von einem Automorphismus her.
- Das ist die Identität.
- Das ist kein Automorphismus, da
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.
a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.
Die Menge sei .
a) Die zyklische Permutation
hat offenbar die Ordnung , da zu jedem Element die Potenzen für die Elemente von durchlaufen.
b) Es sei und betrachte die Permutation
Die Zahlen und sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen und sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von ist. Die Ordnung ist also .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz über die Quadratur des Kreises.
Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Korollar 25.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) muss aber eine konstruierbare Zahl algebraisch sein. Nach dem Satz von Lindemann ist aber und damit auch transzendent.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.
Der Einheitskreis selbst ist konstruierbar, da er den Mittelpunkt besitzt und durch läuft. Der Punkt ist ebenfalls konstruierbar und somit hat man auch die -Achse zur Verfügung. Man kann nun den dadurch gegebenen rechten Winkel durch eine konstruierbare Gerade halbieren und erhält einen neuen Schnittpunkt mit dem Einheitskreis, der somit konstruierbar ist. Den entstehenden Winkel kann man wieder halbieren und so erhält man eine neue Gerade und einen neuen Punkt auf dem Einheitskreis. So fortfahrend erhält man unendlich viele Punkte auf dem Einheitskreis.