Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 18/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe * Aufgabe 18.1 ändern
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primelement. Zeige, dass auch im Polynomring prim ist.
Aufgabe Aufgabe 18.2 ändern
Es seien normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass ist mit . Zeige, dass ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne die Werte der eulerschen Funktion für .
Man diskutiere dabei auch die Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes, siehe Anhang 4.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Schreibe den -ten Kreisteilungskörper als quadratische Körpererweiterung von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ungerade. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper mit dem -ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Kreisteilungspolynome für .
Über einem beliebigen Körper werden Kreisteilungskörper folgendermaßen definiert.
Es sei ein Körper und . Der -te Kreisteilungskörper über ist der Zerfällungskörper des Polynoms
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und , , eine Primzahlpotenz. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper über gleich ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom über allen endlichen Primkörpern reduzibel ist.
Hinweis: Zeige, dass für bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl, die wir als schreiben mit und teilerfremd. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper über gleich ist (mit ), wobei die minimale echte Potenz von mit der Eigenschaft ist, dass ein Vielfaches von ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches gibt.
Die nächste Aufgabe ist eine Kollektivaufgabe, die auf Wikiversity bearbeitet werden soll.
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen und für angibt, welcher endliche Körper der -te Kreisteilungskörper über ist.
(Man trage die Exponenten ein; es empfiehlt sich zur Probe, die Zeilen und Spalten unabhängig voneinander durchzurechnen.)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
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2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 4 | |||||||
3 | 1 | |||||||||||
5 | 1 | |||||||||||
7 | 1 | |||||||||||
11 | 1 | |||||||||||
13 | 1 | |||||||||||
17 | 1 | |||||||||||
19 | 1 | |||||||||||
23 | 1 | |||||||||||
29 | 1 | |||||||||||
31 | 1 | |||||||||||
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