Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 19/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für , welche der -ten Einheitswurzeln in zueinander konjugiert sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für , wie viele Unterkörper der -te Kreisteilungskörper besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Kompositum zu zwei Körpererweiterungen und vom gewählten Oberkörper abhängen kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und zwei Körpererweiterungen vom Grad bzw. . Es sei das in einem Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass die Abschätzung gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es seien und zwei endliche einfache Körpererweiterungen von .
a) Zeige, dass die - Algebra kein Körper sein muss.
b) Es sei das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass es einen surjektiven - Algebrahomomorphismus von nach gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und sei der Körper mit und der Körper mit Elementen. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von und gleich mit und ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der -te Kreisteilungskörper, . Zeige, dass es einen Zwischenkörper , , gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und zwei Kreisteilungskörper über . Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von und gleich ist, wobei ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass das -te Kreisteilungspolynom über dem -ten Kreisteilungskörper irreduzibel ist.
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 19.11 ändern
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei die Adjunktion einer -ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mit Hilfe von Satz 19.6 und der Theorie der Kreisteilungskörper (über ), dass eine Galoiserweiterung ist, deren Galoisgruppe abelsch ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es seien und zwei endliche einfache Körpererweiterungen von , deren Grade teilerfremd seien. Zeige, dass die - Algebra ein Körper ist.
Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .
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