Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 15

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei $F\in \mathbb{Q}[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$ und es sei  $\mathbb{Q}\subseteq L$  eine Körpererweiterung, in der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in $L$ nicht die Form $\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +\gamma$ mit rationalen Zahlen $\beta ,\gamma$ haben können.

Aufgabe

Zeige, dass man in Satz 15.4  (2) nicht auf die Bedingung der Irreduzibilität verzichten kann.

Aufgabe

Zeige, dass man in Satz 15.4 die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann:

Zu jeder Körpererweiterung $K\subseteq M$ und zu zwei $K$-Algebrahomomorphismen

${\phi }_1,{\phi }_2:L⟶M$

ist ${\phi }_1(L)={\phi }_2(L)$.

Aufgabe *

Es sei $\mathbb{Q}\subseteq K$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei

$\kappa :ℂ⟶ℂ$

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass $\kappa (K)\subseteq K$ gilt.

b) Zeige, dass $\kappa {|}_K={\mathrm{Id}}_K$ genau dann gilt, wenn $K\subseteq ℝ$ ist.

Aufgabe

Es sei $q\in \mathbb{Q}$ eine rationale Zahl, die in $\mathbb{Q}$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass $\mathbb{Q}\subseteq L=\mathbb{Q}[X]/(X^3-q)$ eine Körpererweiterung vom Grad $3$ ist. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 15.4, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist. Man gebe die verschiedenen Einbettungen von $L$ in $ℂ$ an.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche normale Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper, der über $K$ nicht normal sei. Zeige, dass es einen weiteren Zwischenkörper  $M^{\prime }\ne M$  gibt, der zu $M$ isomorph ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung $\mathbb{Q}\subseteq M$ aus Beispiel 15.6. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 15.4, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist.

Aufgabe

Finde für den Körper $L$ aus Beispiel 14.9 eine endliche Körpererweiterung $L\subseteq L^{\prime }$ mit $L^{\prime }\subseteq ℂ$ und so, dass $L^{\prime }$ über $\mathbb{Q}$ normal ist. Beschreibe einen $\mathbb{Q}$-Automorphismus $\phi :L^{\prime }\to L^{\prime }$ mit $\phi (L)\ne L$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und  $K\subseteq L$  eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $\mathrm{\#}\left(D\right)$ enthalte $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass  $K\subseteq L$  eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Bestimme für die Körpererweiterung ${𝔽}_3\subseteq {𝔽}_9$, welche Elemente aus ${𝔽}_9$ untereinander konjugiert sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe in jeder Charakteristik Beispiele für eine normale Körpererweiterung  $K\subseteq L$  vom Grad $3$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und seien $M_1,M_2$ Zwischenkörper, die beide über $K$ normal seien. Zeige, dass auch  $K\subseteq M_1\cap M_2$  normal ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und  $K\subseteq L$  eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $\mathrm{\#}\left(D\right)$ enthalte $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass  $K\subseteq L$  eine normale Körpererweiterung ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche normale und separable Körpererweiterung. Es sei  $x\in L$  mit $x^n=a\in K$, wobei ${\mathrm{grad}}_{K}K(x)=n$ sei. Zeige, dass $L$ $n$ verschiedene $n$-te Einheitswurzeln besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Körpererweiterung ${𝔽}_2\subseteq {𝔽}_8$, welche Elemente aus ${𝔽}_8$ untereinander konjugiert sind.