Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 15

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad und es sei eine Körpererweiterung, in der in Linearfaktoren zerfällt. Zeige, dass die Nullstellen von in nicht die Form mit rationalen Zahlen haben können.


Aufgabe

Zeige, dass man in Satz 15.4  (2) nicht auf die Bedingung der Irreduzibilität verzichten kann.


Aufgabe

Zeige, dass man in Satz 15.4 die äquivalenten Bedingungen durch die folgende Eigenschaft ergänzen kann:

Zu jeder Körpererweiterung und zu zwei -Algebrahomomorphismen

ist .


Aufgabe *

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und sei

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass gilt.

b) Zeige, dass genau dann gilt, wenn ist.


Aufgabe

Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt, so dass eine Körpererweiterung vom Grad ist. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 15.4, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist. Man gebe die verschiedenen Einbettungen von in an.


Aufgabe

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper, der über nicht normal sei. Zeige, dass es einen weiteren Zwischenkörper gibt, der zu isomorph ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung aus Beispiel 15.6. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Satz 15.4, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist.


Aufgabe

Finde für den Körper aus Beispiel 14.9 eine endliche Körpererweiterung mit und so, dass über normal ist. Beschreibe einen -Automorphismus mit .


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler von enthalte eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass eine separable Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Bestimme für die Körpererweiterung , welche Elemente aus untereinander konjugiert sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe in jeder Charakteristik Beispiele für eine normale Körpererweiterung vom Grad .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung und seien Zwischenkörper, die beide über normal seien. Zeige, dass auch normal ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Zu jedem Primpotenzteiler von enthalte eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass eine normale Körpererweiterung ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine endliche normale und separable Körpererweiterung. Es sei mit , wobei sei. Zeige, dass verschiedene -te Einheitswurzeln besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Körpererweiterung , welche Elemente aus untereinander konjugiert sind.



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