Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 14

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Interpretiere Lemma 14.2 für den Fall einer quadratischen Körpererweiterung.


Aufgabe

Es sei der Zerfällungskörper von , also der -te Kreisteilungskörper über und es sei die Galoisgruppe der Erweiterung. Zeige, dass bei ungerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus und bei gerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus vorliegt.


Aufgabe *

  1. Bestimme die Zerlegung von in .
  2. Bestimme den Zerfällungskörper von .
  3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
  4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von von der Galoisgruppe herrühren.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe und sei eine weitere Körpererweiterung. Es sei die Menge der -Algebrahomomorphismen von nach . Zeige, dass die Zuordung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen von nach . Es sei eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jedes die Menge in sich selbst überführt. Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist. Man gebe Beispiel für solche Situationen, wo (nicht) injektiv, (nicht) surjektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass jede Isometrie des eine Selbstabbildung der -dimensionalen Sphäre

induziert.


Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise der eigentlichen Würfelgruppe auf der Menge der Ecken, der Kantenmenge, der Menge der Seitenmittelpunkte, der Raumdiagonalen durch geeignete Gruppenhomorphismen.


Aufgabe

Betrachte die Menge der vierten Einheitswurzeln in . Welche sind untereinander über konjugiert?


Aufgabe *

Es sei eine endliche Körpererweiterung und seien konjugierte Elemente. Zeige, dass dann und gilt.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Vektoren (im )

linear unabhängig sind.


Aufgabe

Begründe mit dem Lemma von Dedekind, dass die reelle Matrix

den Rang besitzt.


Aufgabe

Sei und sei . Berechne die Determinante der -Matrix

für .


Aufgabe

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass eine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung eine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung keine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei (zu ) die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass es zu jedem einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

gibt.


Bei einer endlichen Körpererweiterung kann man jeden -Algebraautomorphismus von - also jedes Element der Galoisgruppe - als eine bijektive -lineare Abbildung

auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der Determinante zur Verfügung.

Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Sei eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe in einen Körper . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine endliche kommutative Gruppe und sei eine -graduierte Körpererweiterung. Beweise für die Gleichheit

wobei den zugehörigen -Automorphismus von bezeichnet (siehe Lemma 12.15).


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Menge der achten Einheitswurzeln in . Welche sind untereinander über konjugiert?


Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung mit der zugehörigen Charaktergruppe mit Werten in einem Körper .

a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

nur die Werte und annehmen kann.

b) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Zeige, dass genau dann den Wert annimmt, wenn gerade ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt, so dass eine Körpererweiterung vom Grad ist. Zeige, dass das Polynom in genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht galoissch ist.



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