Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 14

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Interpretiere Lemma 14.2 für den Fall einer quadratischen Körpererweiterung.

Aufgabe

Es sei  $\mathbb{Q}\subseteq L$  der Zerfällungskörper von $X^n-1$, also der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb{Q}$ und es sei $G$ die Galoisgruppe der Erweiterung. Zeige, dass bei $n$ ungerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus $G\to S_{n-1}$ und bei $n$ gerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus $G\to S_{n-2}$ vorliegt.

Aufgabe *

1. Bestimme die Zerlegung von $X^4-7$ in $ℂ$.
2. Bestimme den Zerfällungskörper $L$ von $X^4-7\in \mathbb{Q}[X]$.
3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq L$. 
4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von $X^4-7$ von der Galoisgruppe herrühren.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe  $G=\mathrm{Gal}(L/K)$  und sei  $K\subseteq M$  eine weitere Körpererweiterung. Es sei $E$ die Menge der $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$. Zeige, dass die Zuordnung

$G⟶\mathrm{Perm}(E),\phi ⟼(\iota \mapsto \iota \circ \phi ),$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $G$ eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen von $M$ nach $M$. Es sei  $T\subseteq M$  eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jedes $\phi \in G$ die Menge $T$ in sich selbst überführt. Zeige, dass die Abbildung

$\psi :G⟶\mathrm{Perm}(T),\phi ⟼\phi {|}_T,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Man gebe Beispiel für solche Situationen, wo $\psi$ (nicht) injektiv, (nicht) surjektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass jede Isometrie des ${ℝ}^n$ eine Selbstabbildung der $(n-1)$-dimensionalen Sphäre

$S^{n-1}=\{P\in {ℝ}^n\mid \Vert P\Vert =1\}$

induziert.

Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise der eigentlichen Würfelgruppe auf der Menge der Ecken, der Kantenmenge, der Menge der Seitenmittelpunkte, der Raumdiagonalen durch geeignete Gruppenhomorphismen.

Aufgabe

Betrachte die Menge ${\mu }_4(ℂ)$ der vierten Einheitswurzeln in $ℂ$. Welche sind untereinander über $\mathbb{Q}$ konjugiert?

Aufgabe *

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und seien $f,g\in L$ konjugierte Elemente. Zeige, dass dann  $N(f)=N(g)$  und  $S(f)=S(g)$  gilt.

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die $n$ Vektoren (im ${ℂ}^n$)

$(1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{n-1}),\zeta \in {\mu }_n(ℂ),$

linear unabhängig sind.

Aufgabe

Begründe mit dem Lemma von Dedekind, dass die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right)$

den Rang $4$ besitzt.

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und sei  $\zeta =e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}$.  Berechne die Determinante der $(n\times n)$-Matrix

$(({\zeta }^{r+s}{)}_{0\le r,s\le n-1})$

für  $n=1,2,3,4$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\ne 2$ und sei  $K\subseteq L$  eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass  $K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung ${𝔽}_2\subseteq {𝔽}_4$ eine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung ${𝔽}_2(X)\subseteq {𝔽}_2(X)[T]/(T^2-X)$ keine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei ${\mu }_n(L)$ (zu $n\in {\mathbb{N}}_{+}$) die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln in $L$. Zeige, dass es zu jedem $n$ einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\mathrm{Gal}(L/K)⟶\mathrm{Aut}({\mu }_n(L))$

gibt.

Bei einer endlichen Körpererweiterung  $K\subseteq L$  kann man jeden $K$-Algebraautomorphismus von $L$ - also jedes Element der Galoisgruppe - als eine bijektive $K$-lineare Abbildung

$L\cong K^n⟶L\cong K^n$

auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der Determinante zur Verfügung.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe $G=\mathrm{Gal}(L/K)$. Zeige, dass die Abbildung

$G⟶K^{\times },\phi ⟼det\phi ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe $D^{\vee }$ in einen Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung

$D^{\vee }⟶K^{\times },\chi ⟼\prod _{d\in D}\chi (d),$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $L$ ein Körper und sei

$\phi :L⟶L$

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

$L[X]⟶L[X],\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i⟼\sum _{i=0}^n\phi (a_i)X^i,$

ein Ringautomorphismus des Polynomrings $L[X]$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe und sei $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Beweise für $\chi \in D^{\vee }$ die Gleichheit

$\prod _{d\in D}\chi (d)=det{\phi }_{\chi },$

wobei ${\phi }_{\chi }$ den zugehörigen $K$-Automorphismus von $L$ bezeichnet (siehe Lemma 12.15).

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Menge ${\mu }_8(ℂ)$ der achten Einheitswurzeln in $ℂ$. Welche sind untereinander über $\mathbb{Q}$ konjugiert?

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $D$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung $n$ mit der zugehörigen Charaktergruppe $D^{\vee }$ mit Werten in einem Körper $K$.

a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\psi :D^{\vee }⟶K^{\times },\chi ⟼\prod _{d\in D}\chi (d),$

nur die Werte $1$ und $-1$ annehmen kann.

b) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel enthält. Zeige, dass $\psi$ genau dann den Wert $-1$ annimmt, wenn $n$ gerade ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $q\in \mathbb{Q}$  eine rationale Zahl, die in $\mathbb{Q}$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass  $\mathbb{Q}\subseteq L=\mathbb{Q}[X]/(X^3-q)$  eine Körpererweiterung vom Grad $3$ ist. Zeige, dass das Polynom $X^3-q$ in $L$ genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht galoissch ist.