Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Automorphismen und Nullstellen}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
$L$ zum Polynom
\mathl{X^8-1}{,} also den achten Kreisteilungskörper. Er wird von einer primitiven achten Einheitswurzel $\zeta$ erzeugt und besitzt nach
Beispiel 12.9
die Darstellungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { \Q[ \zeta]/ { \left( \zeta^4+1 \right) }
}
{ =} { \Q[\sqrt{2}, { \mathrm i}]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellen von $X^8-1$ sind die acht verschiedenen Einheitswurzeln, die die Potenzen von $\zeta$ sind. Die primitiven Einheitswurzeln besitzen allesamt das Minimalpolynom
\mathl{X^4+1}{.} Die
$\Q$-\definitionsverweis {Automorphismen}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
führen die achten Einheitswurzeln ineinander über, und zwar werden primitive Einheitswurzeln auf primitive Einheitswurzeln angebildet. Die komplexe Konjugation bildet $\zeta$ auf $\zeta^7$ und $\zeta^3$ auf $\zeta^5$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta^2
}
{ = }{ { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta^6
}
{ = }{ - { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ab. Der durch
\mathl{\sqrt{2} \mapsto - \sqrt{2}}{} und
\mathl{{ \mathrm i} \mapsto { \mathrm i}}{} gegebene Automorphismus
\zusatzklammer {vergleiche
Lemma 12.15} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{2} + \sqrt{2} { \mathrm i} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bildet $\zeta$ auf $\zeta^5$ und
\mathl{\zeta^3}{} auf $\zeta^7$ ab. In jedem Fall induziert jeder Automorphismus eine Permutation der achten Einheitswurzeln, also der Nullstellen des Polynoms $X^8-1$.
}
\inputfaktbeweis
{Zerfällungskörper/Operation auf Nullstellen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{Z(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$. Es seien
\mathl{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n}{} die Nullstellen von $F$ in $L$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen
\definitionsverweis {injektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) } { S(\{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n\})
} {}
der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
in die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
der Nullstellen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Nach
Lemma 10.15
ist
\mathl{\varphi(\alpha_i)}{} wieder eine Nullstelle von $F$, daher muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \alpha_i \right) }
}
{ = }{\alpha_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein gewisses $j$ sein. Dies definiert ein Abbildung der Nullstellenmenge in sich selbst. Da $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, ist auch diese induzierte Abbildung injektiv, also nach
Lemma 10.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
und somit eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{.}
Die Gesamtzuordnung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Da die Nullstellen ein Erzeugendensystem des Zerfällungskörpers bilden, liegt nach
Lemma 10.14
ein injektiver Homomorphismus vor.
\inputbeispiel{}
{
Nach
Beispiel 11.2
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ \defeqr} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$3$ und dabei sind, wenn man die Restklasse von $X$ in $L$ mit $\alpha$ bezeichnet, neben $\alpha$ auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ = }{ \alpha^2 -2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ = }{ - \alpha^2 - \alpha + 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Nullstellen der definierenden Gleichung. Somit besitzen die Elemente
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} das Minimalpolynom
\mathl{X^3-3X+1}{.} Durch
\maabbeledisp {\varphi} {L = \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) } } {L = \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
} {X} { \beta
} {,}
wird ein nichtidentischer
$\Q$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
auf $L$ festgelegt. Dieser sendet $\alpha$ auf $\beta$, $\beta$ wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi(\beta)
}
{ =} { \varphi( \alpha^2-2)
}
{ =} { \beta^2 -2
}
{ =} { ( \alpha^2-2)^2 -2
}
{ =} { \alpha^4 -4 \alpha^2 +4-2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \alpha { \left( 3 \alpha -1 \right) } -4 \alpha^2 +2
}
{ =} { - \alpha^2 -\alpha+2
}
{ =} { \gamma
}
{ } {}
}
{}{}
auf $\gamma$ und $\gamma$ aufgrund einer ähnlichen Rechnung zurück auf $\alpha$. Die einzigen Automorphismen
\mathl{\operatorname{Id}, \varphi, \varphi^2}{} entsprechen also den
\definitionsverweis {geraden Permutationen}{}{}
\mathl{\operatorname{Id}, \alpha \mapsto \beta \mapsto \gamma \mapsto \alpha , \alpha \mapsto \gamma \mapsto \beta \mapsto \alpha}{} auf der Nullstellenmenge
\mathl{\{ \alpha, \beta, \gamma\}}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zwei über $K$
\definitionsverweis {algebraische}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha , \beta
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \definitionswort {konjugiert}{,} wenn ihre
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{}
übereinstimmen.
}
\inputfaktbeweis
{Zerfällungskörper/Konjugierte Elemente/Automorphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und es seien
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
\definitionsverweis {konjugierte}{}{}
Elemente aus $L$.}
\faktvoraussetzung {Es sei $L$ der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
des gemeinsamen Minimalpolynoms $F$ dieser beiden Elemente.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
$\varphi$ von $L$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(\alpha)
}
{ = }{ \beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst gibt es wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[\alpha]
}
{ \cong} {K[X]/(F)
}
{ \cong} {K[\beta]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
$\varphi$ von
\mathl{K[\alpha]}{} nach
\mathl{K[\beta]}{.} Der Körper $L$ ist über diesen beiden Unterkörpern der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$. Daher gibt es nach
Satz 11.6
einen $K$-Algebraautomorphismus von $L$ nach $L$, der $\varphi$ fortsetzt.
\zwischenueberschrift{Das Lemma von Dedekind}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Dedekind.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Richard Dedekind (1831-1916)} }
\bildlizenz { Dedekind.jpeg } {unbekannt} {Jean-Luc W} {Commons} {PD} {http://dbeveridge.web.wesleyan.edu/wescourses/2001f/chem160}
Die Menge der Charaktere auf einem Monoid $G$ in einen Körper $K$, also
\mathl{\operatorname{Char} \, (G, K )}{,} ist selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoids von $G$ nach $K^\times$. Da Charaktere insbesondere Abbildungen von $G$ nach $K$ sind, kann man von
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
von Charakteren sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das \stichwort {Lemma von Dedekind} {.}
\inputfaktbeweis
{Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ ein
\definitionsverweis {Monoid}{}{,}
$K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{\chi_1 , \ldots , \chi_n \in \operatorname{Char} \, (G, K )}{} seien $n$
\definitionsverweis {Charaktere}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind diese Charaktere
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
\zusatzklammer {als Elemente in $\operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) }$} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1 \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $\chi_i$ verschiedene Charaktere seien und alle
\mathl{a_i \in K}{} von $0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei $n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi(e_G)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi_1
}
{ \neq }{ \chi_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi_1 (g)
}
{ \neq }{ \chi_2 (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten die Gleichheit
\zusatzklammer {wieder von Abbildungen von $G$ nach $K$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1 \chi_1(g) \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n (g) \chi_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für ein beliebiges
\mathl{h \in G}{} ist nämlich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (a_1 \chi_1(g) \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n (g) \chi_n )(h)
}
{ =} { a_1 \chi_1(g) \chi_1(h) + \cdots + a_n \chi_n (g) \chi_n(h)
}
{ =} { a_1 \chi_1(g \cdot h) + \cdots + a_n \chi_n (g \cdot h)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom
\mathl{\chi_1(g)}{-}fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man $\chi_1$ elimineren und erhält eine nichttriviale
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a_2
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Wahl von $g$} {} {}
lineare Relation zwischen
\mathl{\chi_2 , \ldots , \chi_n}{} im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von $n$.
\zwischenueberschrift{Galoiserweiterungen}
Aus dem Lemma von Dedekind ergibt sich eine direkte Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer endlichen Körpererweiterung.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 10.16
ist
\mathl{{ \# \left( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) \right) }}{} endlich. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ { \# \left( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Nehmen wir also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ > }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien
\mathl{\varphi_1 , \ldots , \varphi_m}{.} Wir betrachten die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \varphi_1(v_1) & \cdots & \varphi_m(v_1) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \varphi_1(v_n) & \cdots & \varphi_m(v_n) \end{pmatrix}} { . }
Ihr
\definitionsverweis {Rang}{}{}
ist maximal gleich $n$, da sie nur $n$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den $m$ Spalten, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_1 \begin{pmatrix} \varphi_1(v_1) \\\vdots\\ \varphi_1(v_n) \end{pmatrix} + \cdots + b_m \begin{pmatrix} \varphi_m(v_1) \\\vdots\\ \varphi_m(v_n) \end{pmatrix}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei nicht alle $b_j$ gleich $0$ sind. Wir betrachten nun
\mathdisp {\sum_{j = 1}^m b_j \varphi_j} { , }
wobei wir die Automorphismen $\varphi_j$ als
\definitionsverweis {Charaktere}{}{}
von $L^\times$ nach $L^\times$ auffassen. Für ein beliebiges Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{\sum_{i = 1}^n a_iv_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit diesen Bezeichnungen gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{j = 1}^m b_j \varphi_j \right) } (v)
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^m b_j \varphi_j \right) } { \left( \sum_{i = 1}^n a_iv_i \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^m b_j { \left( \varphi_j { \left( \sum_{i = 1}^n a_iv_i \right) } \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^m b_j { \left( \sum_{i = 1}^n a_i \varphi_j(v_i) \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i { \left( \sum_{j = 1}^m b_j \varphi_j(v_i) \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^m b_j \varphi_j(v_i)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind für jedes $i$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was
nach Satz 14.6
nicht sein kann.
Eine wichtige Frage ist, wann in der vorstehenden Abschätzung Gleichheit vorliegt, wann es also so viele Automorphismen wie möglich gibt. Dies machen wir zur Grundlage der folgenden Definition. Wir werden später noch viele äquivalente Eigenschaften kennenlernen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Sie heißt eine \definitionswort {Galoiserweiterung}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) \right) }
}
{ =} { \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht 2/Galoisch/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galois\-erweiterung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 14.13. }
Die vorstehende Aussage ist ein Spezialfall der Aussage, dass graduierte Körpererweiterungen unter der Voraussetzung, dass hinreichend viele Einheitswurzeln im Grundkörper vorhanden sind, Galois-Erweiterungen sind. Dazu brauchen wir ein vorbereitendes Lemma.
\inputfaktbeweis
{Kommutative endliche Gruppe/Körper mit Einheitswurzeln/Charaktergruppe/Isomorph/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit dem
\definitionsverweis {Exponenten}{}{} $m$, und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine
\definitionsverweis {primitive}{}{} $m$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} besitzt.}
\faktfolgerung {Dann sind $G$ und $G^{ \vee }$
\definitionsverweis {isomorphe}{}{\zusatzfussnote {Diese Isomorphie ist nicht kanonisch, es gibt keine natürliche Beziehung zwischen den Elementen aus $G$ und den Charaktern auf $G$} {.} {}} Gruppen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 12.14 (2)
und
Satz Anhang 4.2.
kann man annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
ist, und dass $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {G} {K^\times
} {}
ist durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{\varphi(1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig festgelegt, und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\zeta^n
}
{ =} { (\varphi(1))^n
}
{ =} { \varphi (n)
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ =} {1
}
}
{}{}{}
ist $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder $n$-ten Einheitswurzel $\zeta$ durch die Zuordnung
\mathl{1 \mapsto \zeta}{} nach
Lemma 4.4
und
Satz 5.10
einen Gruppenhomomorphismus von
\mathl{\Z/(n)}{} nach $K^\times$ definieren. Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Also gibt es $n$ solche Homomorphismen. Wenn $\zeta$ eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch
\mathl{1 \mapsto \zeta}{} festgelegte Homomorphismus die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ( \Z/(n) )^{ \vee }
}
{ \cong }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Endliche graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Galois/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,}
wobei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D^{ \vee }
}
{ = }{ \operatorname{Char} \, (D, K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Voraussetzung über die primitiven Einheitswurzeln in Verbindung mit
Lemma 14.10
und
Lemma 12.10 (2)
sichern
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( D^{ \vee } \right) }
}
{ =} { { \# \left( D \right) }
}
{ =} { \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 12.15
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( D^{ \vee } \right) }
}
{ \leq} { { \# \left( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ \leq} {{ \# \left( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und somit haben wir nach
Satz 14.7
hier Gleichheit, also liegt eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
vor. Damit ist auch der nach
Lemma 12.15
injektive Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} {D^{ \vee }} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
} {}
bijektiv.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthält. Es sei
\mathl{a \in K}{} derart, dass das Polynom
\mathl{X^n-a}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sei. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {L
}
{ =} { K[X]/ { \left( X^n-a \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine nach
Beispiel 9.5
$D= \Z/(n)$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{,}
und nach
Satz 14.11
handelt es sich um eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ = }{ D^{ \vee }
}
{ \cong }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei ist $L$ auch der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von
\mathl{X^n-a}{.} Wenn $x$ die Restklasse von $X$ bezeichnet, so sind die $n$ verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich
\mathbeddisp {\zeta x} {mit}
{\zeta \in \mu_n(K) = { \left\{ z \in K \mid z^n = 1 \right\} }} {}
{} {} {} {,}
die allesamt
\definitionsverweis {homogene Elemente}{}{}
der Stufe
\mathl{1 \in D}{} sind. Ein
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} bzw. der zugehörige Automorphismus $\varphi_\chi$ operiert gemäß
Lemma 14.2
auf dieser Nullstellenmenge $M$
\zusatzklammer {die nichtkanonisch isomorph zu \mathlk{\mu_n(K)}{} ist} {} {}
durch
\maabbeledisp {\varphi_\chi} {M} {M
} { \zeta x} { \chi(1) \zeta x
} {.}
Die graduierende Gruppe $D$, sein Charakterdual
\mathl{D^{ \vee }}{,} die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln
\mathl{\mu_n(K)}{,} die Galoisgruppe
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} und die Nullstellenmenge $M$ bestehen aus $n$ Elementen, die Permutationsgruppe von $M$ besteht somit aus $n!$ Elementen. Zu je zwei Nullstellen
\mathkor {} {x_1= \zeta_1 x} {und} {x_2 = \zeta_2 x} {}
gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation $x_1$ in $x_2$ überführt, nämlich derjenige Charakter $\chi$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\chi(1)
}
{ = }{\zeta_2 \zeta_1^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{\Q[ { \mathrm i} ]
}
{ = }{\Q[X]/{ \left( X^2+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{ { \mathrm i} ,- { \mathrm i} \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2!
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{X^4-3 \in K[X]}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K[X]/ { \left( X^4-3 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\mathl{\Z/(4)}{-}graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind
$\sqrt[4]{3},\, - \sqrt[4]{3},\, { \mathrm i} \sqrt[4]{3}$ und $- { \mathrm i} \sqrt[4]{3}$.
Die Irreduzibilität von
\mathl{X^4-3}{} ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu
\mathl{K[X]}{} gehört. Jeder Charakter $\chi$ ist durch
\mathl{\chi(1)}{} bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit
\mathl{\chi(1)}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi(1)
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das die Permutation
\mathl{\sqrt[4]{3} \leftrightarrow -\sqrt[4]{3} ,\, { \mathrm i} \sqrt[4]{3} \leftrightarrow -{ \mathrm i} \sqrt[4]{3}}{,} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi(1)
}
{ = }{ { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das die Permutation
\mathl{\sqrt[4]{3} \mapsto { \mathrm i}\sqrt[4]{3} \mapsto -\sqrt[4]{3} \mapsto - { \mathrm i}\sqrt[4]{3}}{} und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi(1)
}
{ = }{ - { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das die Permutation
\mathl{\sqrt[4]{3} \mapsto - { \mathrm i}\sqrt[4]{3} \mapsto -\sqrt[4]{3} \mapsto { \mathrm i} \sqrt[4]{3}}{.} Unter den $24$ Permutationen rühren also nur $4$ von einem Charakter her, eine Permutation wie
\mathl{\sqrt[4]{3} \leftrightarrow \sqrt[4]{3}}{,}
\mathl{-\sqrt[4]{3} \leftrightarrow -\sqrt[4]{3}}{,} und
\mathl{{ \mathrm i}\sqrt[4]{3} \leftrightarrow - { \mathrm i} \sqrt[4]{3}}{} z.B. nicht.
}