Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Die Galoiskorrespondenz}
Der folgende Satz heißt auch \stichwort {Hauptsatz der Galoistheorie} {} oder \stichwort {Satz über die Galoiskorrespondenz} {.} Er stiftet eine unmittelbare Beziehung zwischen den Zwischenkörpern einer endlichen Galoiserweiterung und Untergruppen der Galoisgruppe. Er bildet die Grundlage dafür, gruppentheoretische Aussagen auf Körpererweiterungen anzuwenden.
\inputfaktbeweis
{Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} mit der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die Zuordnungen
\mathdisp {M \longmapsto \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) \text{ und } H \longmapsto \operatorname{Fix}\, ( H )} { }
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
und der Menge der Untergruppen von $G$.}
\faktzusatz {Bei dieser Korrespondenz werden die Inklusionen umgekehrt.}
\faktzusatz {}
}
{
Diese Abbildungen sind wohldefiniert und kehren nach
Lemma 16.3
die Inklusion um.
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei $M$ ein Zwischenkörper. Nach
Korollar 16.7
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung, also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fix}\, ( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) )
}
{ = }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz 16.6.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $H$ vorgegeben mit dem Fixkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem
Satz von Artin
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
Für einen Automorphismus
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} und einen Zwischenkörper
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M'
}
{ = }{\varphi(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder ein Zwischenkörper, der zu $M$
$K$-\definitionsverweis {isomorph}{}{}
ist. Zwischen den zugehörigen Galoisgruppen
\mathkor {} {\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )} {und} {\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M' )} {}
gilt die folgende Beziehung.
\inputfaktbeweis
{Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Konjugierter Körper und konjugierte Galoisgruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ \in }{ G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M'
}
{ = }{ \psi(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt in der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M' )
}
{ =} { \psi \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) \psi^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M' )}{.} Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ = }{ \psi { \left( \psi^{-1} \varphi \psi \right) } \psi^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und müssen zeigen, dass
\mathl{\psi^{-1} \varphi \psi}{} zu
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )}{} gehört. Es sei dazu
\mathl{x \in M}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \psi^{-1} \varphi \psi \right) } (x)
}
{ = }{ \psi^{-1} (\varphi ( \psi (x)))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei gehört
\mathl{\psi(x) \in M'}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(\psi(x))
}
{ = }{ \psi (x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi^{-1} ( \varphi (\psi(x)))
}
{ =} { \psi^{-1} ( \psi(x))
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die umgekehrte Inklusion ergibt sich genauso bzw. folgt direkt daraus, dass beide Gruppen die gleiche Anzahl besitzen.}
{}
Diese Aussage bedeutet, dass für konjugierte Zwischenkörper
\mathkor {} {M} {und} {M'} {}
in einer Galoiserweiterung auch ihre zugehörigen Galoisgruppen zueinander konjugiert sind im Sinne der folgenden Definition.
\inputdefinition
{}
{
Zwei
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mathl{H_1,H_2 \subseteq G}{} heißen zueinander
\definitionswort {konjugiert}{,}
wenn es einen
\definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\kappa_h} {G} {G
} {g} {hgh^{-1}
} {,}
gibt, der eine Isomorphie zwischen
\mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {}
stiftet.
}
{Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Konjugation und Überführung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{\psi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(M)
}
{ = }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nur zu sich selbst
\definitionsverweis {konjugiert}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 17.13. }
Wir wissen nach
Korollar 16.7,
dass bei einer Galoiserweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch die hintere Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
galoissch ist. Die Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss hingegen nicht galoisch sein, vielmehr liefert die folgende Aussage ein Kriterium.
\inputfaktbeweis
{Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{,}
wenn die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
ist.
} {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )
}
{ =} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) / \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} auf $M$ eingeschränkt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Da die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist, muss aufgrund von
Satz 16.6
nur die Normalität betrachtet werden. Nach
Satz 15.4 (4)
ist die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann normal, wenn jeder
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
von $L$ den Unterkörper $M$ in sich selbst überführt. Dies ist wegen
Korollar 17.4
genau dann der Fall, wenn
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )}{} unter jeder
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
auf sich selbst abgebildet wird, also nach
Lemma 5.4
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
normal. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(M)
}
{ = }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} und somit gibt es eine natürliche Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )} { \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )
} { \varphi} { \varphi {{|}}_M
} {.}
Diese ist offensichtlich ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Aufgrund von
Satz 15.4
gibt es für einen Automorphismus
\mathl{\psi \in \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )}{} eine Fortsetzung zu einem Automorphismus
\mathl{\tilde{\psi} \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Daher ist der Gruppenhomomorphismus
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
davon ist offenbar
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )}{,} so dass sich die behauptete Isomorphie aus
Korollar 5.11
ergibt.}
{}
\zwischenueberschrift{Beispiele zur Galoiskorrespondenz}
Die zuletzt genannte Aussage ist natürlich im Fall, dass eine Galoiserweiterung mit abelscher Galoisgruppe vorliegt, unmittelbar anwendbar. In dieser Situation ist also jeder Zwischenkörper über dem Grundkörper galoissch.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ p^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Körpererweiterung endlicher Körper. Nach
Satz 16.9
ist dies eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {zyklischer}{}{}
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
der Ordnung $n$, die vom
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
$\Phi$ erzeugt wird. Die Galoisgruppe ist also isomorph zu
\mathl{\Z/(n)}{.} Die Untergruppen von
\mathl{\Z/(n)}{} sind von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { \langle m \rangle
}
{ =} { \{0, m, 2 m , \ldots , ( k -1 ) m \}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Teiler $m$ von $n$, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ { \frac{ n }{ m } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der Untergruppe ist. Der zugehörige
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
ist der Fixkörper zu $\Phi^{ m }$, der nach
Korollar 16.10
isomorph zu
\mathl{{\mathbb F}_{ p^{ m } }}{} ist, und $H$ ist die Galoisgruppe von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p^{ m } }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ p^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jeder Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{\langle m \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es die
\definitionsverweis {Restklassenabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {\Z/( n )} { (\Z/( n ))/H \cong \Z/({ m })
} {.}
Gemäß
Satz 17.5
ist die Restklassengruppe dabei die Galoisgruppe von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ p^{ m } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und der Frobenius $\Phi$ von ${\mathbb F}_{ p^{ n } }$ wird dabei auf den Frobenius von ${\mathbb F}_{ p^{ m } }$ eingeschränkt.
Insbesondere hängen die Anzahl und die Inklusionsbeziehungen der Zwischenkörper von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ p^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur von $n$ und nicht von der Primzahl ab.
}
\inputfaktbeweis
{Graduierte Körpererweiterung/Einheitswurzeln/Galoiskorrespondenz/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,}
wobei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei.}
\faktfolgerung {Dann ist jeder Zwischenkörper
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
von der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\bigoplus_{d \in E} L_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Satz 14.11
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Char} \, (D, K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $K$ hinreichend viele Einheitswurzeln besitzt, entsprechen sich die Untergruppen von $D$ und von $G$ über die
\definitionsverweis {Charakter-Korrespondenz}{}{}
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in G \mid \chi(d) = 1 \text { für alle } d \in E \right\} }} { }
und
\mathdisp {H \longmapsto H^{ { \perp } } = { \left\{ d \in D \mid \chi(d) = 1 \text { für alle } \chi \in H \right\} }} { . }
Zu jeder Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\bigoplus_{d \in E} L_d}{} ein Zwischenkörper. Da wegen der
Galoiskor\-respondenz
die Anzahl der Zwischenkörper mit der Anzahl der Untergruppen der Galoisgruppe, und diese mit der Anzahl der Untergruppen in $D$ übereinstimmt, ist jeder Zwischenkörper von dieser Form und insbesondere graduiert.
Zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ =} { \bigoplus_{d \in H^{ { \perp } } } L_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und zu einem Unterkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{L_E
}
{ = }{\bigoplus_{d \in E} L_d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )
}
{ =} { E^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Galoisgruppe von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {L_E
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $K$ ist gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )
}
{ =} { E^{ \vee }
}
{ =} { D^{ \vee } / E^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die bijektive Beziehung zwischen Zwischenkörpern und Untergruppen der graduierenden Gruppe im Galoisfall wird manchmal auch als \stichwort {Kogaloiskorrespondenz} {} bezeichnet. Bei ihr werden Inklusionen erhalten und drehen sich nicht wie bei der Galoiskorrespondenz um \zusatzklammer {bei der Bijektion zwischen Untergruppen und ihrem Charakterdual drehen sich die Inklusionen um} {} {.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lattice_diagram_of_Q_adjoin_the_positive_square_roots_of_2_and_3,_its_subfields,_and_Galois_groups.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lattice diagram of Q adjoin the positive square roots of 2 and 3, its subfields, and Galois groups.svg } {} {Bender2k14} {Commons} {CC BY-SA 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Wir knüpfen an
Beispiel 12.8
an. Aufgrund von
Satz 14.11
liegt eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
vor. Die graduierende Gruppe ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ \Z/(2) \times \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Neben der
\definitionsverweis {trivialen Untergruppe}{}{}
und $D$ selbst gibt es noch die drei Untergruppen
\mathl{\{ (0,0), (1,0) \}, \, \{ (0,0), (0,1) \}, \, \{ (0,0), (1,1) \}}{,} die den Zwischen\-körpern
\mathdisp {\Q,\, \Q (\sqrt{2}),\, \Q(\sqrt{3}),\, \Q(\sqrt{6}),\, L} { }
entsprechen. Wegen
Proposition 17.7
gibt es keine weiteren Zwischenkörper. Die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ D^{ \vee }
}
{ \cong }{ \Z/(2) \times \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Satz 14.11.
Zur Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ = }{\{ (0,0), (1,0) \}
}
{ \subseteq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört dabei $E^{ { \perp } }$
\zusatzklammer {das der Galoisgruppe \mathlk{\operatorname{Gal}\, ( L_E {{|}} \Q )}{} entspricht} {} {,}
das aus dem konstanten Charakter und der Abbildung
\maabbdisp {\chi} {D} {\Q^\times
} {}
besteht, die $E$ auf $1$ und
\mathl{D \setminus E}{} auf $-1$ abbildet. Dazu gehört wiederum der durch
\mathdisp {1 \longmapsto 1,\, \sqrt{2} \longmapsto \sqrt{2},\, \sqrt{3} \longmapsto - \sqrt{3},\, \sqrt{6} \longmapsto - \sqrt{6}} { }
festgelegte $\Q$-Automorphismus $\varphi$.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
$\Z/(6)$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq} { L
}
{ =} { \Q[ \sqrt[3]{2}, \sqrt{-3} ]
}
{ =} { \Q [\sqrt[6]{-108}]
}
{ =} { \Q[X]/(X^6+108)
}
}
{}{}{.}
Die Graduierung ist durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_i
}
{ = }{\Q \cdot x^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \sqrt[6]{-108}
}
{ = }{ \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{-3}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{-3}
}
{ = }{ - { \frac{ 1 }{ 6 } } x^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt[3]{2}
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 18 } } x^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da es in $\Q$ keine primitive dritte Einheitswurzel gibt, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Char} \, ( \Z/(6) , \Q^\times )
}
{ \cong }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher gibt es nur zwei
\definitionsverweis {homogene Automorphismen}{}{}
\zusatzklammer {somit ist dies auch keine
\definitionsverweis {Kummererweiterung}{}{\zusatzfussnote {Siehe die nächste Vorlesung} {.} {.}}} {} {.}
Dennoch handelt es sich um eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
Zunächst gehört
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\zeta_3
}
{ =} { { \frac{ -1 + \sqrt{-3} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ -6-x^3 }{ 12 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu $L$ und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q(\zeta_3)
}
{ = }{ \Q(\sqrt{-3} )
}
{ = }{ L_0 \oplus L_3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ein weiterer
\zusatzklammer {mit der Graduierung verträglicher} {} {}
Zwischenkörper ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q { \left( \sqrt[3]{2} \right) }
}
{ = }{L_0 \oplus L_2 \oplus L_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die durch
\mathl{x^{i} \mapsto (-1)^{i} x^{i}}{} gegebene Abbildung ist ein
\definitionsverweis {homogener Automorphismus}{}{}
$\varphi$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^2
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aber auch die Zuordnung
\mathl{x^{i} \mapsto (\zeta_3)^{i} x^{i}}{} definiert einen
\zusatzklammer {nicht-homogenen} {} {}
Automorphismus $\psi$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi^3
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gibt also insgesamt $6$ Automorphismen und daher liegt eine Galoiserweiterung vor. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi \circ \psi)(x)
}
{ =} { \varphi (\psi(x))
}
{ =} { \varphi { \left( \zeta_3 x \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( { \frac{ -6x-x^4 }{ 12 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 6x-x^4 }{ 12 } }
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\psi \circ \varphi)(x)
}
{ =} { \psi (\varphi (x))
}
{ =} { \psi (- x )
}
{ =} { - \psi(x)
}
{ =} { - { \frac{ -6x-x^4 }{ 12 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { { \frac{ 6x+x^4 }{ 12 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Daher ist die Galoisgruppe nicht kommutativ, und es muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \Q )
}
{ = }{ S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Der Körper
\mathl{\psi { \left( \Q { \left( \sqrt[3]{2} \right) } \right) }}{} ist ein nichthomogener Zwischenkörper.
}