Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	9	4	4	4	4	4	2	4	6	6	2	3	3	1	65

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.

b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die drei Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(x)=x$, ${}g(x)=\sin x$ und ${}h(x)=\cos x$ linear abhängig sind.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$. Es sei

${}NM=0\,$

für jede ${}n\times n$-Matrix ${}N$ vom Rang ${}1$. Zeige

${}M=0\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad ${}\leq 4$ mit der Basis

$x^{i},0\leq i\leq 4.$

Erstelle für die Ableitungsabbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V,\,P\longmapsto P',$

die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I$ eine endliche Menge und

$\varphi \colon I\longrightarrow I$

eine Abbildung. Zeige, dass man ${}\varphi$ als die Hintereinanderschaltung

${}\varphi =\tau _{1}\circ \cdots \circ \tau _{k}\circ \rho _{1}\circ \cdots \circ \rho _{m}\,$

schreiben kann, wobei die ${}\tau _{i}$ Transpositionen und die ${}\rho _{j}$ Abbildungen derart sind, dass es ${}r,s\in I$ gibt mit

${}\rho {|}_{I\setminus \{r\}}=\operatorname {Id} _{I\setminus \{r\}}\,$

und

${}\rho (r)=s\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$X^{3}-4X+2$

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}3&-2\\1&5\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Man gebe ein Beispiel für eine ${}4\times 4$- Permutationsmatrix, bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine ${}1$ steht.

b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der ${}a_{11}=1$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}-4&-1&-2&3\\6&7&7&1\\0&0&3&-2\\0&0&6&2\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn die Familie ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ affin unabhängig ist.